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\pagestyle{empty}

\begin{document}
\title{Funktionentheorie}
\author{Stephan Kulla}
\date{29.6.2010}

\maketitle

\section{Grundlegende Begriffe}

\textbf{Definition (Gebiet)}: Ein Gebiet ist eine nichtleere, offene und kurvenzusammenh{\" a}ngende Teilmenge der komplexen Zahlen.


\textbf{Definition (Kurve)}: Eine  \emph{Kurve} ist eine stetige Funktion $\alpha:\  \left[a,\,b\right] \rightarrow \C$ (mit $a \lt b$).


\textbf{Definition (Zusammensetzung zweier Kurven)}: Seien $\alpha:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\C$ und $\beta:\ \left[b,\,c\right]\rightarrow\C$ zwei Kurven mit $\alpha\left(b\right)=\beta\left(b\right)$, dann ist 

\begin{align*}
\alpha\oplus\beta:\ \left[a,\,c\right]\rightarrow\C:\ t\rightarrow\left\{\begin{matrix}\alpha\left(t\right);\ a \le t \le b \\[4px]\beta\left(t\right);\ b\lt t \le c\end{matrix}\right.
\end{align*}

die  \emph{Zusammensetzung von $\alpha$ und $\beta$}.


\textbf{Definition (Reziproke Kurve)}: Die  \emph{reziproke Kurve $\alpha^{-}$} zu einer Kurve $\alpha:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\C$ ist definiert als $\alpha^{-}:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\C:\ t\rightarrow\alpha\left(b+a-t\right)$. Sie durchl{\" a}uft damit die Kurve $\alpha$ in umgekehrter Richtung.


\textbf{Definition (Glatte Kurve)}: Eine  \emph{glatte Kurve} ist eine stetig differenzierbare Kurve.


\textbf{Definition (St{\" u}ckweise glatte Kurve)}: Eine Kurve $\alpha$ hei{\ss}t  \emph{st{\" u}ckweise glatt}, wenn es eine Zerlegung $a=\tau_0 \lt \tau_1 \lt \tau_2 \lt \ldots \lt \tau_n = b$ gibt, so dass f{\" u}r alle $k\in\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$ die Einschr{\" a}nkung $\alpha\left|_{\left[\tau_{k-1},\, \tau_k\right]}\right.$ glatt ist. Damit l{\" a}sst sich $\alpha$ schreiben als $\alpha = \bigoplus_{k=1}^n$, wobei alle $\alpha_k$ glatt sind.

\section{Komplexe Integralrechnung}
\subsection{Komplexe Integrale}

\textbf{Definiton (Komplexe Integrale)}: Sei $f:\  \left[a,\,b\right] \rightarrow \C$ eine Funktion, f{\" u}r das $\Re\left(f\right)$ und $\Im\left(f\right)$ integrierbare Funktionen sind (Anmerkung: $\Re\left(f\right)$ und $\Im\left(f\right)$ sind reelle Funktionen und damit ist hier die reelle Integrierbarkeit gemeint). Dann ist 

\begin{align*}
\int_a^b f\left(x\right) \dx :\ = \int_a^b \Re\left(f\left(x\right)\right) \dx + \i \int_a^b \Im\left(f\left(x\right)\right) \dx
\end{align*}


\textbf{Satz (Eigenschaften des komplexen Integrals)}: Es gilt 
\begin{itemize}
\item $\int_b^a f\left(x\right) \dx = -\int_a^b f\left(x\right) \dx$
\item $\int_a^a f\left(x\right) \dx = 0$
\item $\int_a^b \left(f\left(x\right) + g\left(x\right)\right) \dx = \int_a^b f\left(x\right) \dx + \int_a^b g\left(x\right) \dx$
\item $\int_a^b \lambda \cdot f\left(x\right) \dx = \lambda \int_a^b f\left(x\right) \dx$
\item Ist $f$ stetig und besitzt eine Stammfunktion $F$ (also $F^\prime = f$). so gilt $\int_a^b f\left(x\right) \dx = F\left(b\right) - F\left(a\right)$
\item $\amount{\int_a^b f\left(x\right) \dx} \le \int_a^b \amount{f\left(x\right)} \dx$
\item  \emph{Substitutionsregel:} Seien $I_1,\, I_2 \subseteq \R$ reelle Intervalle und $a,\,b\in I_1$ sowie $f:\  I_2 \rightarrow \C$ stetig und $\phi:\  I_1 \rightarrow I_2$ stetig differenzierbar, so gilt 

\begin{align*}
\int_{\phi\left(a\right)}^{\phi\left(b\right)} f\left(x\right) \dx = \int_a^b f\left(\phi\left(x\right)\right) \phi^\prime\left(x\right) \dx
\end{align*}

\item  \emph{Partielle Integration:} Sind $f,\,g :\  \left[a,\,b\right] \rightarrow \C$ stetig differenzierbar, so gilt 

\begin{align*}
\int_a^b f\left(x\right)g^\prime\left(x\right) \dx = \left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]_a^b - \int_a^b f^\prime\left(x\right) g\left(x\right) \dx
\end{align*}

\end{itemize}

\subsection{Holomorphe Funktion}
\subsubsection{Grundlagen}

\textbf{Definition (Holomorphe Funktion)}: Eine Funktion $f:\ D\rightarrow\C$ (Dhei{\ss}t  \emph{holomorph} oder  \emph{analytisch}, wenn sie in jedem Punkt aus $D$ komplex ableitbar ist.


\textbf{Satz (Ganze Funktion)}: Eine  \emph{ganze Funktion} ist eine analytische Funktion $\C\rightarrow\C$.

\subsubsection{Eigenschaften holomorpher Funktionen}

\textbf{Satz (Satz von Liouville)}: Jede ganze (also analytische Funktion $\C\rightarrow\C$) und beschr{\" a}nkte Funktion ist konstant.


\textbf{Satz (Fundmentalsatz der Algebra)}: Jedes komplexe Polynom besitzt eine komplexe Nullstelle. Damit zerf{\" a}llt jedes komplexe Polynom in Linearfaktoren.

\subsection{Komplexe Kurvenintegrale}

\textbf{Definition (Komplexes Kurvenintegral)}: Sei $\alpha:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow \C$ eine glatte Kurve und $f:\ G\rightarrow\C$ eine stetige Funktion, deren Definitionsbereich die Kurve enth{\" a}lt (also $\alpha\left(\left[a,\,b\right]\right) \subseteq G$). Dann ist das komplexe Kurvenintegral $\int_\alpha f\left(x\right) \dx$ definiert durch 

\begin{align*}
\int_\alpha f\left(x\right) \dx = \int_a^b f\left(\alpha\left(x\right)\right) \alpha^\prime\left(x\right) dx
\end{align*}

Ist $\alpha$ eine st{\" u}ckweise glatte (also $\alpha = \bigoplus_{k=1}^n \alpha_k$, wobei alle $\alpha_k$ glatte Kurven sind), so ist 

\begin{align*}
\int_\alpha f\left(x\right) \dx = \int_{\bigoplus_{k=1}^n \alpha_k} f\left(x\right) \dx = \sum_{k=1}^n \int_{\alpha_k} f\left(x\right) \dx
\end{align*}


\textbf{Definiton (Bogenl{\" a}nge einer Kurve)}: Die L{\" a}nge $\len\left(\alpha\right)$ einer glatten Kurve $\alpha:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow \C$ ist definiert durch 

\begin{align*}
\len\left(\alpha\right) = \int_a^b \amount{\alpha^\prime\left(x\right)} \dx
\end{align*}

Ist $\alpha$ eine st{\" u}ckweise glatte (also $\alpha = \bigoplus_{k=1}^n \alpha_k$, wobei alle $\alpha_k$ glatte Kurven sind), so ist 

\begin{align*}
\len\left(\alpha\right) = \len\left(\bigoplus_{k=1}^n \alpha_k\right) = \sum_{k=1}^n \len\left(\alpha_k\right)
\end{align*}


\textbf{Satz (Eigenschaften komplexer Kurvenintegrale)}: Im Folgenden sei $\alpha:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\C$ eine st{\" u}ckweise glatte Funktion und $f,\,g:\ \alpha\left(\left[a,\,b\right]\right)\rightarrow\C$ stetige Funktionen. Komplexe Kurvenintegrale besitzen folgende Eigenschaften 
\begin{itemize}
\item $\int_\alpha \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) \dx = \int_\alpha f\left(x\right) \dx + \int_\alpha g\left(x\right) \dx$
\item $\int_\alpha \lambda \cdot f\left(x\right) \dx = \lambda \int_\alpha f\left(x\right) \dx$
\item $\amount{\int_\alpha f\left(x\right) \dx} \le C \cdot \len\left(\alpha\right)$, wenn $\amount{f\left(x\right)} \le C$ f{\" u}r alle $x$ im Bild von $\alpha$
\item  \emph{Transformationsinvarianz:} F{\" u}r eine stetig differenzierbare Funktion $\phi:\ \left[c,\,d\right]\rightarrow \left[a,\,b\right]$ mit $\phi\left(c\right)=a$ und $\phi\left(d\right)=b$ gilt 

\begin{align*}
\int_\alpha f\left(x\right)\dx = \int_{\alpha\circ \phi} f\left(x\right) \dx
\end{align*}

\item Wenn $f:\ D\rightarrow\C$ (wobei $D$ offen ist) eine Stammfunktion $F$ besitzt (also $F^\prime = f$), so gilt 

\begin{align*}
\int_\alpha f\left(x\right)\dx = F\left(\alpha\left(b\right)\right) - F\left(\alpha\left(a\right)\right)
\end{align*}

Ist $\alpha$ geschlossen (also $\alpha\left(a\right)=\alpha\left(b\right)$), so gilt nach obiger Gleichung $\int_\alpha f\left(x\right) \dx = 0$.
\end{itemize}


\textbf{Satz}: Sei $f:\ D\rightarrow\C$ eine stetige Funktion auf dem Gebiet $D$. Es sind dann folgende Aussagen {\" a}quivalent 
\begin{itemize}
\item $f$ besitzt eine holomorphe Stammfunktion auf $D$
\item Jedes Kurvenintegral {\" u}ber $f$ auf einer geschlossenen Kurve ist gleich $0$.
\item Jedes Kurvenintegral {\" u}ber $f$ h{\" a}ngt nur von Ausgangs- und Endpunkt ab.
\end{itemize}

\subsection{Causchyscher Integralsatz}

\textbf{Satz (Integralsatz f{\" u}r Dreieckswege)}: Sei $f:\ D\rightarrow\C$ eine holomorphe Funktion. Dann ist jedes Kurvenintegral {\" u}ber $f$ auf einer dreieckigen Kurve, deren Dreiecksfl{\" a}che ganz in $D$ liegt, gleich 0.


\textbf{Definition (Elementargebiete)}: Ein Gebiet hei{\ss}t  \emph{Elementargebiet}, wenn jede analytische Funktion auf diesem Gebiet eine holomorphe Stammfunktion besitzt. Elementargebiete sind genau alle einfach zusammenh{\" a}ngende Gebiete.


\textbf{Satz (Cauchyscher Integralsatz f{\" u}r Sterngebiete)}: Jede analytische Funktion besitzt auf einem Sterngebiet besitzt eine Stammfunktion. Sterngebiete sind damit Elementargebiete.


\textbf{Satz}: Sei $f:\ D\rightarrow\C$ eine holomorphe Funktion auf einem einfach zusammenh{\" a}ngenden Gebiet $D$, die nirgends auf $D$ verschwindet (also $f\left(z\right) \ne 0$ f{\" u}r alle $z\in D$). Dann existiert eine holomorphe Funktion $h:\ D\rightarrow \C$ mit $\exp\left(h\left(z\right)\right) = f\left(z\right)$ f{\" u}r alle $z\in D$. Damit existiert f{\" u}r jedes $n \in \N_{\ge 1}$ eine analytische Funktion $H:\ D\rightarrow \C$ mit $H^n = f$.

\subsection{Causchysche Integralformel}

\textbf{Satz (Causchysche Integralformel)}: Sei $f:\ D\rightarrow\C$ ($D\subseteq\C$ offen) eine analytische Funktion. Sei $z_0\in D$ sowie $R\in\R_{\gt 0}$ und die abgeschlossene Kreisscheibe $\left\{z\in\C:\ \amount{z-z_0} \le R\right\} \subseteq D$. Dann ist 

\begin{align*}
f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi\i} \oint_\alpha \frac{f\left(x\right)}{x-z} \dx
\end{align*}

f{\" u}r alle $z$ aus der offenen Kreisscheibe $\left\{z\in\C:\ \amount{z-z_0} \le R\right\}$ und $\alpha:\ \left[0,\,1\right]\rightarrow\C:\ t\mapsto z_0+R \exp\left(2\pi\i t\right)$.


\textbf{Satz (Mittwelwertgleichung)}: Sei $f:\ D\rightarrow \C$ eine analytische Funktion ($D\subseteq\C$ offen). Sei $z_0\in D$ und $r\in\R_{\gt 0}$ mit $\left\{z\in\C:\  \amount{z-z_0} \le r\right\} \subseteq D$. Dann ist 

\begin{align*}
f\left(z_0\right) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f\left(z_0+r\exp\left(it\right)\right) \dt
\end{align*}


\textbf{Satz (Verallgemeinerte Causchysche Integralformel)}: Sei $f:\ D\rightarrow\C$ ($D\subseteq\C$ offen) eine analytische Funktion. Sei $z_0\in D$ sowie $R\in\R_{\gt 0}$ und die abgeschlossene Kreisscheibe $\left\{z\in\C:\ \amount{z-z_0} \le R\right\} \subseteq D$. Dann ist 

\begin{align*}
f^{\left(n\right)}\left(z\right)=\frac{n!}{2\pi\i} \oint_\alpha \frac{f\left(x\right)}{\left(x-z\right)^{n+1}} \dx
\end{align*}

f{\" u}r alle $z$ aus der offenen Kreisscheibe $\left\{z\in\C:\ \amount{z-z_0} \le R\right\}$ und $\alpha:\ \left[0,\,1\right]\rightarrow\C:\ t\mapsto z_0+R \exp\left(2\pi\i t\right)$.

\section{Potenzreihen}

\textbf{Satz}: Sei $f\left(z\right)=\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ mit $c_n \in \C$ eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten. Wenn die Reihe f{\" u}r ein $z_0 \ne 0$ konvergiert, dann konvergiert die Reihe absolut und gleichm{\" a}{\ss}ig in jedem Kreis $K\left(r\right):\ = \left\{ z\in\C :\  \amount{z} \le r \right\}$ mit $0 \lt r \lt \amount{z_0}$.


\textbf{Definition (Konvergenzradius)}:  \emph{Der Konvergenzradius $R$} einer Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ ist definiert als 

\begin{align*}
R:\ =\sup\left\{\amount{z} :\  \sum_{n=0}^\infty c_n z^n \text{ konvergiert}\right\}
\end{align*}

Nach dem obigen Satz konvergiert die Potenzzeihe auf jeder Kreisscheibe, deren Radius kleiner als der Konvergenzradius ist und nach Definition divergiert die Reihe f{\" u}r alle komplexen Zahlen $z$, deren Betrag gr{\" o}{\ss}er als der Konvergenzradius ist.


\textbf{Satz (Formel von Cauchy-Hadamard)}: F{\" u}r den Konvergenzradius einer komplexen Reihe $\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ gilt 

\begin{align*}
R=\frac{1}{\limsup{\text{TODO}}}
\end{align*}


\textbf{Satz (Konvergenzradius der formal differenzierten Potenzreihe)}: Wenn die Reihe $\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ den Konvergenzradius $R$ besitzt, dann besitzt auch die formal differenzierte Potenzreihe $\sum_{n=1}^\infty n\cdot c_n z^n$ den Konvergenzradius $R$.


\textbf{Definition (Holomorphe Funktion)}: Sei $U \subset \C$ eine offene, nichtleere Teilmenge. Eine Funktion $f:\  U \rightarrow \C$ hei{\ss}t  \emph{analytisch} oder  \emph{holomorph}, wenn es um jeden Punkt $a\in U$ eine Umgebung $B_r\left(a\right) :\ = \left\{z\in \C:\  \amount{z-a} \lt r\right\} \subset U$ mit $r\gt 0$ gibt, so dass sich $f$ in $U$ in einer Potenzreihe entwickeln l{\" a}sst.


\textbf{Satz}: Sei $G\subset \C$ ein Gebiet und $f:\  G \rightarrow \C$ eine holomorphe Funktion, die nicht identisch 0 ist. Dann ist die Menge der Nullstellen von $f$ isoliert, dass hei{\ss}t, dass es f{\" u}r jede Nullstelle $a$ von $f$ eine Umgebung $U$ gibt, so dass $f\left(z\right)\ne 0$ f{\" u}r alle $z\in U\setminus \left\{0\right\}$.


\textbf{Satz (Identit{\" a}tssatz)}: Sei $G \subset \C$ ein Gebiet und seien $f,\,g :\  G \rightarrow \C$ zwei holomorphe Funktionen. Sei $A:\ =\left\{z\in G:\  f\left(z\right)=g\left(z\right)\right\}$. Wenn $A$ einen H{\" a}ufungspunkt in $G$ besitzt, ist $f$ mit $g$ identisch (also $\forall z \in G:\  f\left(z\right)=g\left(z\right)$.


\textbf{Satz (Weierstra{\ss}scher Doppelreihensatz)}: Sei $c_{kl} \in \C$ f{\" u}r alle $k,\,l\in\N$. Es sind folgende Aussagen {\" a}quivalent: 

\begin{align*}
& \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^\infty \amount{c_{kl}} \lt \infty \\[4px]
\Leftrightarrow & \sum_{l=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \amount{c_{kl}} \lt \infty \\[4px]
\Leftrightarrow & \limit{\sum_{l \le n,\, k\le n} \amount{c_{kl}}} \lt \infty \\[4px]
\Leftrightarrow & \limit{\sum_{k+l\le n} \amount{c_{kl}}} \lt \infty \\[4px]
\end{align*}

Ist eine der obigen Aussagen erf{\" u}llt (und damit alle obigen Aussagen erf{\" u}llt), dann existieren die Grenzwerte 

\begin{align*}
& c_1 = \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^\infty c_{kl} \\[4px]
& c_2 = \sum_{l=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty c_{kl} \\[4px]
& c_3 = \limit{\sum_{l \le n,\, k\le n} c_{kl}} \\[4px]
& c_4 = \limit{\sum_{k+l\le n} c_{kl}} \\[4px]
\end{align*}

und es gilt $c_1=c_2=c_3=c_4$.


\textbf{Satz (Cauchy-Produkt von Potenzreihen)}: Seien $f\left(z\right)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ und $g\left(z\right)=\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ zwei konvergente Potenzreihen mit Konvergenzradius $r_f$ bzw. $r_g$.Dann gilt: 

\begin{align*}
f\left(z\right)g\left(z\right) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right)}_{=:\  c_n} \cdot z^n = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n
\end{align*}

Dabei besitzt die Reihe $\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ f{\" u}r $f\left(z\right)\cdot g\left(z\right)$ einen Konvergenzradius, der gr{\" o}{\ss}er gleich $\min\left(r_f,\, r_g\right)$ ist.


\textbf{Satz (Inverses von Potenzreihen)}: Sei $f\left(z\right) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ eine Potenzreihe mit positiven Konvergenzradius $R>0$ und $f\left(0\right)=:\ a_0\ne 0$. Dann existiert ein $\rho$ mit $0\lt \rho \lt r$, so dass $f\left(z\right)\ne 0$ f{\" u}r alle $z\in \C$ mit $\amount{z}\lt\rho$. Es gilt au{\ss}erdem $\frac{1}{f\left(z\right)} = \sum_{l=0}^\infty b_l z^l$ f{\" u}r $\amount{z}\lt\rho$ und gewisse $b_l \in\C$.


\textbf{Satz (Umentwicklung von Potenzreihen)}: TODO

\end{document}
