\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl}
%\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath, amsthm, amsfonts, amssymb}
\usepackage{enumerate}
 
\input{../math.tex}

\newtheorem{thm}{Übung H}
%opening
\title{Korrektur Blatt 1 W-Theorie}
\author{Max Klinger}
 
\begin{document} 
\maketitle

\subsection* {Messbarkeit}
Warum sollten Abbildungen messbar sein?
\begin{itemize}
 \item Abb $X:(\Omega,\mathcal{A}, \mathbb{P}) \rightarrow (\Omega^{'}, \mathcal{A}^{'})$
\item messbar $\iff \forall B \in \mathcal{A}^{'} \{\omega\in \Omega: X(\omega) \in B\} = \{ X \in B \} \in \mathcal{A}.$
\item Abbildung $\mathbb{P} : \mathcal{A}\rightarrow [0,1]$ wegen X messbar ist $\mathbb{P}(\{X\in B\})$ wohldef. 
\end{itemize}
\begin{thm}
Wir suchen $X(\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (\RR, \mathcal{B})$ nicht messbar, aber $X^2$ messbar. 
\end{thm}
\begin{proof}[Lösung]
$\Omega = \{-1,1\}, \mathcal{A} = \{\emptyset, \Omega \}, 
X= id, dh.h. X(\omega) = \omega$
\begin{itemize}
 \item $\{X \leq 0\} = \{ \omega \in \Omega: X(\omega) \in ]\omega,0]\}= \{-1\}\notin \mathcal{A}$
\item $X^2 = 1 \forall B \in \mathcal{B}(\RR) \{X^2 \in \mathcal{B}\} = \case{\Omega}{1\in \mathcal{B}}{\emptyset}{1\notin B},$ also $\{X^2 \in B\} \in \mathcal{A}$
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{thm}
$\Omega \neq \emptyset$
\begin{enumerate}[a)]
 \item $\mathcal{A}$ ist $\sigma-Algebra \Leftrightarrow $
\begin{enumerate}[1)]
 \item $\Omega \in \mathcal{A}$
 \item $A\in \mathcal{A} \Rightarrow A^c \in \mathcal{A}$
 \item $\displaystyle A_n \in \mathcal{A} \; \forall n \in \NN \Rightarrow \bigcap_{n=1} A_n \in \mathcal{A}$
\end{enumerate}
\item Sei $\mathcal{B}$ ein Mengensystem, mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}[1)]
 \item $\emptyset \in \mathcal{B}$
 \item $A\in \mathcal{B} \Rightarrow A^c \in \mathcal{B}$
 \item $\displaystyle A_n \in \mathcal{B} \; \forall n \in \NN \Rightarrow \bigcap_{n=1} A_n \in \mathcal{B}$
\end{enumerate}
Zeigen oder widerlegen sie, dass es sich bei $\mathcal{B}$ um eine $\sigma-$Algebra handelt.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}[Beweis:]
\begin{enumerate}[a)]
 \item 
\begin{enumerate}[i)]
 \item $\Leftrightarrow$ 1)
 \item i)$\Leftrightarrow$ 2)

\begin{itemize}
 \item[``$\Rightarrow$''] Sei: $A\in \mathcal{A} \Rightarrow A^c = \Omega\setminus A \in \mathcal{A}$
 \item[``$\Leftarrow$''] Sei: $A,B\in \mathcal{A} \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal{A}$\\
$A\setminus B = A\setminus (B\cap A)$\\
$\Rightarrow B\setminus A = B\cap A^c \in \mathcal{A}$
\end{itemize}

\item $\Leftrightarrow$ 3)
\begin{itemize}
 \item [``$\Rightarrow$'']$\displaystyle \text{Sei } A_n \in \mathcal{A},\; n \geq 1: \quad \left(\bigcap_{n=1} A^c\right)^c= \bigcup_{n=1} A_n \in \mathcal{A}$
\item [``$\Leftarrow$''] $\displaystyle \text{Sei }A_n \in \mathcal{A},\; n \geq 1: \quad \bigcup_{n=1} A_n = \Omega\setminus\left(\bigcup_{n=1} \Omega\setminus A_n\right)\in \mathcal{A}$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item $\{\emptyset\}$ ist keine $\sigma$-Algebra, aber erfüllt die Bedingungen.
\end{enumerate}

\end{proof}

\begin{thm}
$(\Omega,\mathcal{A})$ (Messraum), $X,Y: (\Omega,\mathcal{A})\rightarrow \RR$ Abbildungen.
\begin{enumerate}[a)]
 \item \underline{z.z.:} X borelmessbar $\Leftrightarrow \forall q\in \QQ \quad \{X<q\} \in \mathcal{A}$
\item nach a) noch z.z. $\forall q\in \QQ \quad \{X+Y <q\} \in \mathcal{A}$
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}[Beweis:]
\begin{enumerate}[a)]
 \item \begin{itemize}
 \item [``$\Rightarrow$''] $\displaystyle \forall q\in \QQ \quad ]-\infty,q[ \in \mathcal{B} 
\Rightarrow \left\{X\in  ]\infty,q[ \right\} = \left\{X<q \right\} \in \mathcal{A}$
\item [``$\Leftarrow$''] \begin{itemize}
\item  Satz 1.9 $\Rightarrow$ es genügt Messbarkeit auf einem Erzeuger zu zeigen
\item Satz 1.9 $\Rightarrow \mathcal{B} (\RR)$ wird durch offene Intervalle erzeugt
\item $a,b\in \RR$ o.B.d. $A. a<b. a_n\searrow a, b_n\nearrow b$ mit $a_n,b_n \in \QQ \; \forall n\in \NN$\\
$\displaystyle ]a,b[ \supset [a_n,b_n[ \; \forall n \in \NN$
$\displaystyle \left\{a<X<b\right\} \supset \left\{a_n \leq X < b_n \right\} \forall n\in \NN$
\begin{align*}
\bigcup_{n\geq 1} (\{ X<a_n)^c \cap \{X<b\} &= \{a<X<b\} \in \mathcal{A}\\
&= \bigcup_{n\geq 1} ( \{a_n\leq X\} \cap \{X<b_n\} \\
&=\bigcup_{n\geq 1} \{a_n\leq X <b_n\} 
\end{align*}
\end{itemize}
\end{itemize}
\item
Sei $q\in \QQ$:\;
$\displaystyle \{X+Y < q\} = \{ X < q -Y \} = \bigcup_{z\leq \QQ}\left(\left\{X<z\right\} \cap \left\{z < q - Y \right\}\right) \in \mathcal{A}$\\
hierbei : $\displaystyle \{Y<X\}= \left\{\omega\in \Omega: Y(\omega) < X(\omega)\right\}$\\
\begin{align*}
\displaystyle \bigcup_{z\in\QQ}\left(\{Y<z\}\cap \{z<X\}\right) &= \bigcup_{z\in\QQ}(\{\omega\in \Omega: Y (\omega) < z\}\cap \{\omega\cap\Omega: z<X (\omega)\}) \\& = \{\omega \in \Omega: Y(\omega< X (\omega))\} = \{Y<X\} 
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{document}
