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\newtheorem{thm}{Aufgabe H}
%opening
\title{Übungsblatt 9 W-Theorie}
\author{Max Klinger}
 
\begin{document} 
\section*{Wahrscheinlichkeitstheorie \"Ubungsblatt 11}
\begin{thm}
Sei (X, Y) ein Zufallsvektor mit Dichte $f(x,y) = x e^{-x(y+1)}\1_{\RR^2_{+}}(x,y)$. Berechne die bedingten Erwartungswerte $\EE[X|Y]$ und $\EE[Y|X]$.
\end{thm}

\begin{proof}
$\prob{X=k} = (1-p)^{k-1}p, \forall k \geq 1$
\begin{align*}\prob{X+Y=n} &= \sum^{n-1}_{i=1} \prob{X_2 = i, Y =n-i} = \sum_{i=1}^{n-1} (1-p)^{i-1}p(1-p)^{n-i-1}p \\
&= \frac{p^2}{(1-p)^2}\sum^{n-1}_{i=1} (1-p)^n=\frac{p^2}{(1-p)^2}(n-1)(1-p)^n
\end{align*}
\begin{align*}
\forall n \geq 1: \prob{X=k|Y+X=n}&=\frac{X=k,Y=n-k}{(n-1)(1-p)^{n-2}p^2} = \frac{p(1-p)^{k-1} p(1-p)^{n-k-1}]}{(n-1)p^2(1-p)^{n-2}} \\&= \frac{1}{(n-1)}; \; \forall k \in \{1,\ldots, n-1\}
\end{align*}
\begin{itemize}
 \item $\EE[X^2|X+Y=n] = \frac{1}{n-1} \sum^{n-1}_{k=1} k^2 = \frac{1}{(n-1)} \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} = \frac{n(2n-1)}{6}$
\item $\EE[X^2|X+Y] = \frac{(X+Y)(2(X+Y)-1)}{6}$
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{thm}
Sei $(X_n)$ ein Submartingal bzgl. der Filtration $(\mathcal{F_n})$ und $T_1, T_2$ Stoppzeiten mit $\prob{T_1 \leq  T_2 \leq K} = 1$ f\"ur  eine Konstante K. $\EE[X_{T_1}] \leq \EE[X_{T_2}]$
\end{thm}

\begin{proof}
$\EE[X_{T_1}] = \sum^k_{n=0} \EE[X_{T_1} \1_{T_1=n}] = \sum^k_{n=0} \EE[X_n \1_{T_1=n}]$\\
\underline{$0\leq n\leq k$} \begin{align*}\EE[X_n \1_{T_1=n}] &= \EE[X_n \1_{T_1 =n} \1_{T_2\geq n}] = \EE[X_n \1_{T_1=n =T_2}] + \EE[X_n \1_{T_1 =n} \1_{T_2>n}] \\
&= \left[\{T_2 > n\}^c = \{T_2 \leq n\} = \bigcup^n_{i=0} \underbrace{\{T_2=i\}}_{\in \mathcal{F}_i}  \in \mathcal{F}_n\right]\\
&\leq\footnote{Submartingal Eigenschaft $\EE[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]\geq X_n$}\EE[X_n \1_{\{T_1 =n = T_2\}}] + \EE[X_{n+1}\1_{\{T_1=n=T_2\}}]
\end{align*}
\underline{iterativ:} $\EE[X_n \1_{\{T_1=n\}}] \leq \EE[X_{T_2} \1_{T_1=n}] \Rightarrow \EE[X_{T_1}] \leq \EE[X_{T_2}]$
\end{proof}
\begin{proof}[Beweisidee:]
 \begin{itemize}
\item  aufspalten in verschiedene F\"alle (diskrete Stoppzeichen)
\item $\{T_2 > n\} \in \mathcal{F}_n$
\item Submartingaleigenschaft verwenden
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{thm}
Sei $\mathcal{F}_n$ eine Filtration. $\forall$ Submartingal $(X_n)\; \exists $ ein Martingal $(M_n)$ und eine previsible monoton wachsende Folge $(A_n)$ mit $X_n= M_n +A_n \; \forall n \geq 1$. Ist diese Zerlegung eindeutig.
\end{thm}

\begin{proof}
\begin{align*}
M_n &= X_n - \EE[X_n | \mathcal{F}_{n-1}] + X_{n-1} - \EE[X_{n-1}| \mathcal{F}_{n-2}] + \dotsc\\
&=\sum^n_{i=1} [X_i - \EE[X_1|\mathcal{F}_{i-1}]] \text{ (mit } X_0=0, \mathcal{F}_0 = \{\emptyset, \Omega\})
\end{align*}
$\Rightarrow \EE[M_n|\mathcal{F}_{n-1}] = M_{n-1}$

$A_n= \EE[X_n|\mathcal{F}_{n-1}] - X_{n-1} + \dotsc = \sum^n_{i=1} [\EE[X_1|\mathcal{F}_{i-1}] - X_{i-1}]$\\
previsible $\checkmark$\\
monoton wachsend: $A_n - A_{n-1} = \EE[X_n | \mathcal{F}_{n-1}] -X_{n-1} \geq\footnote{$X_n$\\ Submartingal} 0$
\end{proof}

\end{document}
