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\newtheorem{thm}{Aufgabe}
%opening
\title{Übungsblatt 2 W-Theorie}
\author{Max Klinger}
 
\begin{document} 
\maketitle

\begin{thm}
 Sei $(\Omega), \mathcal{A})$, $A_i\in \mathcal{A}, \; i \geq 1$ und $f_n : \Omega\rightarrow [-\infty, \infty], \; n \geq 1, \; \mathcal{A}-\overline{\mathcal{B}}$- messbare Funktionen. Z.Z.: 
\begin{enumerate}[a)]
 \item Die Menge $\displaystyle \limsup_{n\rightarrow \infty}A_n:= \left\{\omega\in \Omega: \limsup_{n \rightarrow \infty} \1_{A_n}(\omega) = 1 \right\}$ entspricht der \\ Menge $\left\{\omega \in \Omega: \sum_{n\geq 1} \1_{A_n} (\omega) = \infty \right\}.$
\item $\displaystyle \left\{f_n\text{ konvergiert gegen einen Wert in }[-\infty, \infty]\right\} := \left\{\limsup_{n\rightarrow f_n}= \liminf_{n\rightarrow \infty} f_n \right\} \in \mathcal{A}.$
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
 \item 
\begin{itemize}
 \item [$``\subset``$] Sei a $\leq \limsup 1_n$
\begin{itemize}
 \item Def. von $\limsup \Rightarrow 1$ ist H.P. von $\left(\1_{A_n}(\omega)\right)_{n\geq1}$, d.h. \\
$\exists \, \1_{A_{n_k}}(\omega)\xrightarrow{k\rightarrow \infty} 1$
\item wegen $\1_{A_{n_k}}(\omega) \in \{0,1\} \; \exists N \in \NN : \; \1_{A_{n_k}}(\omega) =1 \; \forall k\geq N$
\item $\displaystyle \sum_{n\geq 1} \1_{A_{n_k}}(\omega) = \sum_{n\geq k}\1_{A_{n_k}}(\omega) \leq \sum_{k\geq N} 1 = \infty$
\end{itemize}
\item [$``\supset``$] Sei $\omega : \sum_{n\geq 1}\1_{A_{n_k}}(\omega)=\infty$
\begin{itemize}
\item Wegen $\displaystyle \1_{A_{n_k}}(\omega) \in \{0,1\} \Rightarrow \exists \, \left(\1_{A_{n_k}}(\omega)\right)_{k\geq 1}$ mit $\1_{A_{n_k}}(\omega)=1$, da ansonsten $\displaystyle \sum_{n\geq 1}\1_{A_{n_k}}(\omega)<\infty$
\item Also ist 1 H.P. $\displaystyle \Rightarrow \limsup_{n\rightarrow \infty}\1_{A_{n_k}}(\omega)\geq 1$
\item Wegen $\displaystyle \1_{A_{n_k}}(\omega) \leq 1 \; \forall n\in \NN$ ist $\displaystyle \limsup_{n\rightarrow \infty}\1_{A_{n_k}}(\omega)\leq 1$\\
$]-\infty,1]$ ist abgeschlossen $\Rightarrow$ alle H.P. von Folgen mit Werten in $]-\infty,1]$ liegen in $]-\infty,1]$
\end{itemize}
\end{itemize}
\item $\left\{f_n\text{ konvergiert in }[-\infty , \infty]\right\}^c = \left\{\liminf f_n = \limsup f_n\right\}^c=$ \\$\displaystyle = \{\liminf f_n < \limsup f_n\}= \bigcup_{a,b\notin \QQ} \{\liminf f_n <a<b< \limsup f_n\}  = \bigcup_{a<b\notin \QQ} \left(\underbrace{\{\liminf f_n <a\}}_{\in \mathcal{A}} \cap \underbrace{\{b< \limsup f_n\}}_{\in \mathcal{A}} \right) \in \mathcal{A}$
\end{enumerate}
\end{proof}

\clearpage
\begin{thm}
Sei $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ ein W'raum und $A, B, A_n \in \mathcal{A}, \; n \geq 1$. Zeigen sie folgenden elementaren Eigenschaften von P:
\begin{enumerate}[a)]
 \item $A\subset B \Rightarrow \PP(A) \leq \PP(B)$
\item $\displaystyle \PP\left(\bigcup_{n\geq 1} A_n\right) \leq \sum_{n\geq 1}\PP\left(A_n\right)$
\item $\displaystyle \PP\left(A_n\right) =1 \; \forall n \geq 1 \Rightarrow \PP\left(\bigcap_{n\geq 1} A_n\right) =1$
\item $\displaystyle A_1\subset A_2 \subset \ldots \Rightarrow \lim_{n\rightarrow 0} \PP(A_n) = \PP\left(\bigcup_{n\geq 1}A_n\right)$
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\PP(B) = \PP\left(A\dcup(B\cap A^c)\dcup \emptyset \dcup \ldots\right)= \PP(A) + \PP(B\cap A^c) + 0 + \ldots \geq \PP(A)$
\item  \begin{itemize}
 \item $\displaystyle B_1=A_1, B_2=A_2\setminus A_1, \ldots, B_n=A_n\setminus\left(\bigcup^{n-1}_{i=1} A_i\right). \\
B_n$ disjunkte Folge und $\displaystyle \bigcup_{n\geq 1} A_n = \bigcup_{n\geq 1} B_n $
\item $\displaystyle \PP\left(\bigcup_{n\geq 1} A_n \right) = \PP\left(\bigcup_{n\geq 1}B_n\right) = \sum \underbrace{\PP(B_n)}_{\PP(A_n)} \leq \sum_{n\geq 1}\PP(A_n)$
\end{itemize}

\item $\PP(A^c_n)=0$
\begin{itemize}
 \item $\displaystyle \PP\left(\left(\bigcap_{n\geq 1 } A_n \right)^c\right) = \PP\left(\bigcup_{n\geq1} A_n^c\right) \leq \sum_{n\geq 1} \PP(A_n^c) =0 $
\item $\displaystyle 1 = 1-0 = 1-\PP\left(\bigcap_{n\geq 1}A_n^c\right) = \PP\left(\bigcup_{n\geq 1} A_n\right)$
\end{itemize}

\item Vorl. $\displaystyle\Rightarrow B_1\supset B_2 \supset B_3\ldots \Rightarrow \Ln \PP(B_n) = \PP\left(\bigcap_{n=1}B_n\right)$
\begin{itemize}
 \item $B_n = A_n^c$ dann $\displaystyle B1\supset B_2 \supset \ldots \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} \PP(B_n) = \PP\left(\bigcap_{n\geq 1} B_n\right)$
\item $\displaystyle 1 - \ln P(A_n) = \Ln (1-\PP(A_n)) =\Ln \PP(A_n^c) = \Ln \PP(B_n) = \PP\left(\bigcap_{n\geq 1} B_n\right) = 1-\PP\left(\left(\bigcap_{n\geq 1}B_n\right)^c\right)= 1-\PP\left(\bigcup_{n\geq 1} A_n\right) \Rightarrow$ Beh. 
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{proof}
\clearpage
\begin{thm}
\item  Ein Mengensystem $\mathcal{M} \subset 2^\Omega$ heißt monotone Klasse, falls es folgende Eigenschaften hat:
\begin{enumerate}[a)]
\item $A_1, A_2, \dotsc \in \mathcal{M}, A_1 \subset A_2 \subset \dotsc \Rightarrow \bigcup_{n\geq 1} A_n \in \mathcal{M}$
\item $A_1, A_2, \dotsc \in \mathcal{M}, A_1 \supset A_2 \supset \dotsc \Rightarrow \bigcap_{n\geq 1} A_n \in \mathcal{M}$
\end{enumerate}
Sei nun $\mathcal{M}$ monotone Klasse und $\mathcal{A}$ Algebra mit $\mathcal{A}\subset \mathcal{M}$. Zeigen sie $\sigma(A) \subset \mathcal{M}$
\end{thm}

\begin{proof}
\begin{itemize}
 \item $\mathcal{M}_i, i\in I $, monotone Klasse $\displaystyle \Rightarrow \bigcap_{i\in I}\mathcal{M}$ monotone Klasse, da Eigenschaften sich übertragen $\Rightarrow$ o. E. $\mathcal{M}$ kleinste monotone Klasse mit $\mathcal{A}\subset \mathcal{M}$
\item abgeschlossen unter Komplementbildung, da $\mathcal{M}_0 = \left\{A\in \mathcal{M}: A^c \in \mathcal{M}\right\}\subset \mathcal{M}$ monotone Klasse mit $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{M}_0 \subset \mathcal{M}$\\
$\mathcal{M}$ kleinste M.Kl $\Rightarrow \mathcal{M}_0 =\mathcal{M}$
\item Eigenschaften monotoner Klassen bleiben unter Schnitt mit festem $C \in \mathcal{M}$ erhalten, da $\mathcal{M}_C := \{A\in \mathcal{M} : A \cap C \in \mathcal{M}\}$ monotone Klasse, da
$\displaystyle A_i \in \mathcal{M}_C, \; A_i \nearrow A = \bigcup_{i\geq 1} A_i$
$\displaystyle \Rightarrow A_i \in \mathcal{M},\; A_i \nearrow A ,\; A_i \cap C \in \mathcal{M}$ und $\displaystyle A_i \cap C \nearrow A_n\cap C $ $\Rightarrow A \in \mathcal{M}$
\item $\displaystyle A_i \in \mathcal{M}_0$ und $\displaystyle A_i \searrow \tilde{A} = \bigcap_{i\in I}A_i$
$\Rightarrow A_i\in \mathcal{M}$ und $\displaystyle A_i \searrow \tilde{A}$, $A_i \cap C \in \mathcal{M}$ und $A_1\cap C \searrow A \cap C$ $\Rightarrow \tilde{A} \in \mathcal{M}_0$
 \item Abgeschlossen unter endlichen Schnitten: \\
$\forall C \subset \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{A} \subset \mathcal{M}_0 \subset \mathcal{M} \Rightarrow \mathcal{M}_0 = \mathcal{M}$
$\Rightarrow D\cap C \in \mathcal{M} \; \forall D \in \mathcal{M}, \; C\in \mathcal{A}$
$\forall D \in \mathcal{M}, \mathcal{A} \in \mathcal{M}_0 \subset \mathcal{M} \Rightarrow \mathcal{M}_0 = \mathcal{M}$
\item Abgeschlossenheit unter abzählbar vielen Vereinigungen:\\
$\forall A_1, A_2,\dotsc \subset \mathcal{M}: A_1 \cup \dotsc \cup A_n \subset A_1 \cup \dotsc \cup A_{n+1}= \left(A_1^c \cap ...\cap A_n^c \right)^c$\\
$\displaystyle \bigcup_{n\geq1} A_n = \bigcup_{n\geq 1} (A_1 \cup \dotsc \cup A_n) = \bigcup_{n\geq 1} (A_1^c \cap \dotsc \cap A_n^c)^c \stackrel{\text{mon. Kl.}}{\in} \mathcal{M}$
\item $\mathcal{M}$ ist $\sigma$-Algebra $\Rightarrow \sigma(\mathcal{A}) \subset \mathcal{M}$ ($\mathcal{M} = \sigma(\mathcal{A})$ da $\sigma(\mathcal{A})$ eine monotone Klasse mit $\mathcal{A}\subset \sigma(\mathcal{A})$ ist).
\end{itemize}
\end{proof}
\end{document}
