\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\newtheorem{thm}{Aufgabe H}
%opening
\title{Übungsblatt 3 W-Theorie}
\author{Max Klinger}
 
\begin{document} 
\maketitle

\begin{thm}
Sei $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ ein Maßraum, zu zeigen: Für eine ZV X mit Werten in $[0,\infty)$ gilt:
$$ \EE(X^p) = p \int^\infty_0 t^{p-1}\mathbb{P}(X>t) dt $$
\end{thm}
\begin{proof}[Beweis]
\begin{align*}
\EE[X^p] &= \int S^p \1_{[0,\infty)} (s) \PP\circ X^{-1}(ds) = \int \left(\int_0^\infty p t^{p-1} \1_{[0,s[}(t) dt\right)  \PP\circ X^{-1}(ds) \\
 &\stackrel{\text{Fubini Tonelli}}{=} \int_0^\infty \left(\int p t^{p-1} \1_{]t,\infty]}(s) \PP\circ X^{-1}(ds) \right) dt \\&= \int_0^\infty p t^{p-1} \PP(X>t) dt= p \int_0^\infty t^{p-1} \PP(X>t) dt 
\end{align*}
\end{proof}
\begin{thm}
Sei $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ ein Maßraum und X eine reelle Zufallsvariable. 
\begin{enumerate}[a)]
 \item Sei X poissonverteilt, d.h. $\mathbb{P}(X=n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}$ für $n \in \NN =\{0,1,\dotsc \}$ Berechne den Erwartungswert von X und $\EE(X^2)$
\item Sei X exponentialverteilt, d.h. X besitzt die Lebesgue-Dichte $\lambda e^{\lambda t}\1_{t\leq 0}$. \\Berechnen sie die Varianz von X. 
\end{enumerate}

\end{thm}

\begin{proof}[Beweis]
\begin{enumerate}[a)]
 \item \begin{align*}
        \EE[X]= \sum_{n\geq 0} n \PP(X=n) &= \sum_{n\geq 1} n \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \lambda \sum_{n\geq 1} \frac{\lambda^n}{(n-1)!} \\
&= e^{-\lambda} \lambda \sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} 
= e^{-\lambda} \lambda e^{\lambda} = \lambda
       \end{align*}
\begin{align*}
\EE[X^2] &= \lambda + \underbrace{\EE(X^2 - X)}_{\EE[X(X-1)]} = ?\\
&= \sum_{n\geq 0} n (n-1) e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!}= e^{-\lambda}
\lambda^2 \sum_{n\geq 2} \frac{\lambda^{n-2}}{(n-2)!} = e^{-\lambda} \lambda^2 \sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!}= n! 
\end{align*}

\item $$\EE[X]= \int_0^\infty t \lambda e^{-\lambda t} dt \stackrel{P.I.}{=} -e^{-\lambda t}t|^\infty_0 - \int 1 (-e^{-\lambda t})dt= 0 + \frac{1}{\lambda} =\frac{1}{\lambda}$$

\begin{align*}
\Var[X] & = \EE [ (X - E[X] )^2 ] = \int_0^\infty (t-\frac{1}{\lambda})^2 \lambda e^{-\lambda t}dt \\
&= \int_0^\infty t^2 \lambda e^{-\lambda t } dt - \frac{2}{\lambda} \int_0^\infty t \lambda e^{-\lambda t} dt + \frac{1}{\lambda^2} \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda} dt \\
&\stackrel{P.I.}{=} - t^2 e^{-\lambda t} |_0^\infty + \int 2 t e^{-\lambda t} dt - \frac{2}{\lambda ^2} + \frac{1}{\lambda^2}\\
&= 0 + \frac{2}{\lambda^2}  -\frac{2}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda^2} \\
&= \frac{1}{\lambda^2}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{thm}
Sei $(\Omega,\mathcal{A})$ ein Messraum und $\mu,\nu$ zwei endliche Maße auf $(\Omega,\mathcal{A})$. Zu zeigen:
$$\nu \ll \mu \stackrel{!}{\Leftrightarrow} \forall \epsilon > 0  \; \exists \delta > 0: \forall A \in \mathcal{A}: \mu(A) < \delta \Rightarrow \nu(A) < \epsilon$$
\end{thm}
\begin{proof}
\begin{itemize}
 \item[``$\Leftarrow$``] $\mu(A)=0 \Rightarrow \nu(A) < \epsilon \; \forall \epsilon > 0 \Rightarrow \nu(A) =0$
\item [``$\Rightarrow$``] Widerspruchsannahme: $\exists \epsilon > 0 \; \forall \delta > 0 \; \exists A \in \mathcal{A}: \mu(A) < \delta $ und $\nu(A) \geq \epsilon$
$\Rightarrow A_1,A_2 \in \mathcal{A}$ mit $\mu(A_n) < \frac{1}{2^n}$ und $\nu(A_n) \geq \epsilon \, \forall n \geq 1$\\
$\displaystyle A:= \limsup_{n\rightarrow \infty} A_n = \bigcap_{n\geq 1} \bigcup_{m\geq n} A_m$\\
$\displaystyle \Rightarrow \mu(A)\geq \mu(\bigcup_{m\geq n} A_m) \leq \sum_{m\geq n} \frac{1}{2^m} = \frac{2}{2^n} \xrightarrow{n\rightarrow\infty}0$\\
$\Rightarrow \mu(A) = 0$, aber $\displaystyle \nu(A)= \int \limsup_{n\rightarrow \infty} 1_{A_n} d\nu $\\
$\displaystyle \stackrel{\text{LM v. Fatou}}{\geq} \int 1_{A_n} d_\nu = \nu(A_n) \geq \epsilon$
Widerspruch da $\nu\ll \mu$
\end{itemize}
\end{proof}
\end{document}
