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\newtheorem{thm}{Aufgabe H}
%opening
\title{Übungsblatt 7 W-Theorie}
\author{Max Klinger}
 
\begin{document} 
\section*{Wahrscheinlichkeitstheorie Übungsblatt 7}
\begin{thm} \hfill \\
\begin{enumerate} [a)]
 \item\begin{enumerate}[i)]

 \item $\mu = p \delta_1 + (1-p) \delta_0; \qquad \phi_\mu(t) = p e^{it 1} + (1-p) e^{it 0} = 1-p + p e^{it}$
\item $X_1,\dotsc, X_n$ sei Bernoulli-p-vert. und unabh.
$\rightarrow \sum_{i=1}^n X_i$ Binomial-(n,p)-vert. \\
$\displaystyle \phi_{\sum^n_{i=1}X_i}(t) = \!\!\int \! e^{it \sum^n_{i=1}X_i}dP= \!\!\!\int \! \prod^n_{i=1} e^{itX_i} dP$ $\stackrel{\text{unabh.}}{=} \!\prod^n_{i=1} \in e^{itX_i} dP \stackrel{(i)}{=} (1-p+pe^{it})^n$
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}[i)]
\item $\cos(t) = \EE[e^{itX}]$
$\cos(t) = \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$ aus $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ und $\sin(-x) = -\sin(x)$ und $\cos(-x) = \cos(x)$\\
$\Rightarrow$ Sei X ZV mit Werten in $\{-1,1\}$ und $\prob[X=1] = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \EE[e^{itX}]=\cos(t)$
\item $\displaystyle \sum_{0\leq < \infty} a_k \cos(kt)$ mit $\displaystyle \sum^\infty_{k=0} a_k = 1 $ und $a_k =0 \; \forall k \geq 0$\\
$\displaystyle \sum_{0\leq k < \infty} a_k \cos(kt) = \sum_{0\leq k < \infty} a_{k/2} \left(\frac{e^{itk}+e^{-itk}}{1}\right) \stackrel{!}{=} \EE[e^{itX}]$\\
$\Rightarrow X$ sei ZV mit Werten in $\ZZ$ und $\prob[X=k]= \prob[X=-k] = \frac{a_k}{2}, k\geq 1$\\
$\Rightarrow \displaystyle \EE[e^{itX}]= \sum_{0\leq k < \infty } a_k \left(\frac{e^{itk}+e^{-itk}}{2}\right) = \sum_{0\leq k < \infty}a_k \cos(tkx)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{thm}
$\phi_X$ charakteristische Funktion zur ZV X 
\begin{enumerate}[a)]
 \item $\Re(\phi_X)$ ist charakteristische Funktion, d.h. finde Y ZV mit $\phi_X (T) = \Re(\phi_X(t))$
\item $\frac{2}{2-\phi} -1$ ist charakteristische Funktion
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}[Beweis]
\begin{enumerate}[a)]
 \item $\Re (\phi_X)= \EE[\cos(tX)] = \frac{\phi(t) + \phi(-t)}{2} = \frac{\phi(t)}{2} + \frac{\phi(-t)}{2}$.
Ausserdem is $\phi(-t)$ charakteristische Funktion von (-X) (Satz 5.15.b). Sei $\theta$ ZV mit Werten in $\{0,1\}$ unabhängig von X und $\prob[\theta = -1]=\frac{1}{2}.$
Sei $Y= (-1)^\theta$
$\phi_Y(t) = \EE[e^{itY}]= \EE[e^{it(-1)^\theta X} \left(\1_{\{\theta = 0\}} \1_{\{\theta =1\}}\right)] = \EE[e^{itX}\1_{\{\theta=0\}}] + \EE[e^{it(-X)} \1_{\{\theta=1\}}] = 
\frac{\phi_X(t)}{2} + \frac{\phi_X(-t)}{2} = \Re(\phi_X(t))$
\item \underline{Idee:} $\displaystyle \frac{2}{2-p}= \frac{1}{1-\frac{P}{2}} \stackrel{\abs{p}< 1}{=} \sum^\infty_{k=0} (\frac{p}{2})^k = sum^\infty_{k=0} (\frac{1}{2})^k p^k$\\
\underline{Beweis:}\begin{itemize}
 \item Sei N ZV mit $\displaystyle \prob[N=k] = (\frac{1}{2})^k, k \geq 1$
\item Sei $Y= \sum^N_{i=1}X_i$ mit $N, X_1, \dotsc $ unabhängig und $X_i\sim X \; i \geq 1$
\item $\displaystyle \EE[e^{itY}]= \sum^\infty_{k=1} (\frac{1}{2})^k \EE[e^{it\sum^k_{i=1} X_i}]= \sum^\infty_{k=1} (\frac{1}{2})^k \prod^k_{i=1}\phi(t) = \sum^\infty_{k=1}(\frac{1}{2})^k \phi(t)^k = \sum^\infty_{k=0} (\frac{1}{2})^k \phi(t)^k -1$\\$ =\footnote{$\abs{\phi(t)}\leq1, \forall t\in \RR$} \frac{2}{2-\phi}=1$
\end{itemize}

\end{enumerate}
\end{proof}


\begin{thm}
$\phi_x(t) = e^{-t^4}$ geht nicht
\end{thm}

\begin{proof}
Widerspruchsannahme $e^{-t^4}$ ist charakteristische Funktion. Da $\phi^{''}_X(0)$ endlich ist $\stackrel{\text{Satz 5.20]}}{\Longrightarrow} \EE[(\abs{X}^2)]<\infty$. Aus $\EE[\abs{X}^2] < \infty$
$\Longrightarrow\footnote{Satz 5.18 Spezialfall} \EE[X^2] = \frac{1}{i^2}\phi^{(2)}(0) = 0$. 
Da $X^2 \geq 0$ und $\EE[X^2]=0 \Rightarrow X=0 $ fast sicher $\Rightarrow \phi_X(t) = \EE[e^{itX}] = 1 \neq e^{-t^4} = \phi_x(t)$ Widerspruch
\end{proof}
\end{document}
