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\newtheorem{thm}{Aufgabe H}
%opening
\title{Übungsblatt 7 W-Theorie}
\author{Max Klinger}
 
\begin{document} 
\section*{Wahrscheinlichkeitstheorie Übungsblatt 8}
\begin{thm} \hfill \\
X sei integrierbare ZV, mit Werten in $(\ZZ,\mathcal{F})$, Das zugehörige Bildmaß sei $\mu$. Bezeichne $\phi_X$ die charakteristische Funktion. Zu zeigen $$ \mu(y) = \frac{1}{2\pi}\int_{[-\pi,\pi]} e^{-ity} \phi_X(t) dt$$
\end{thm}
\begin{proof}
\begin{align*}
 \frac{1}{2\pi} \int_{[-\pi,\pi]} e^{-ity} \phi_x (t) dt &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \sum_{x\in \ZZ} \mu(x) \left( e^{it(x-y)} \right) dt= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \mu(y) + \sum_{x\neq y} \mu(x) \left( e^{it(x-y)} \right) dt \\
&= \mu(y) + \frac 1{2\pi} \sum_{x\neq y} \mu(x) \underbrace{\int^\pi_{-\pi} e^{it(x-y)}dt}_{=0}
\end{align*}
$$\int^\pi_{-\pi} e^{itk} = \left.\frac{1}{ik} e^{itk} \right|^\pi_{-\pi} = \frac{2}{k} \frac{\left(e^{i(k-\pi)} -e^{i(-(k-\pi))}\right)}{2i} = \frac{2}{k}\sin(k\pi) = 0$$
\end{proof}

\begin{thm}
$(X_n)_{n=1} \text{ unabhängige \{0,1\}-wertige ZVen mit } \EE[X_n] = p_n$
$$\Var{X_n} = p_n(1-p_n) =\infty \Leftrightarrow Z_{k,n} = \frac{X_k - p_k}{\sqrt{\sum^N_{n=1} p_n(1-p_n)}} \text{ Lindeberg (zentriert)} $$
\end{thm}

\begin{proof}[Beweis]
\begin{itemize}
 \item [``$\Rightarrow$``]
$\forall \epsilon >0:$ $$\frac{p_1(1-p_1)}{\sum^N_{n1} p_n(1-p_n)} = \Var{Z_{1,N}}=\EE[Z^2_{1N}]=\int \!\!Z_{1,N}^2 \1_{\left\{\abs{Z_{1,N}} \leq \epsilon\right\}}dP + \underbrace{\int\! \!Z_{1,N}^2 \1_{\left\{\abs{Z_{1,N}}>\epsilon\right\}}dP}_{Lindbergbedingung}$$
$\displaystyle \Rightarrow \forall \epsilon >0 \; \limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{p_n(1-p_n)}{\sum^N_{n=1} p_n(1-p_n} \leq \epsilon^2 \text{. Aus }p_1(1-p_1) > 0 \Rightarrow \sum^\infty_{n=1} p_1(1-p_1) = \infty$
\item [``$\Leftarrow$``] $\displaystyle \sum_{n\geq 1} p_n(1-p_n) = \infty\; \forall \epsilon > 0: \abs{Z_{k,n}} \leq \frac{1}{\sqrt{\sum^N_{n=1}p_n(1-p_n)}} < \epsilon$ für N groß genug.\\
Für solche $\displaystyle N: \sum^N_{k=1} \int Z^2_{k,N} \1_{\left\{\abs{Z_{k,N}}>\epsilon\right\}} d\mathbb{P} = 0$
\end{itemize}
\end{proof}


\begin{thm}
$(X_n)_{n\geq1}$ unabhängige Zufallsvariablen, $X_i \sim \text{Exp(a)}, a >0.$\\ Zu zeigen: $\displaystyle \limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{X_n}{\log n}= \frac{1}{\alpha}$ fast sicher
\end{thm}

\begin{proof}
\begin{itemize}
 \item $$A_{k,N} = \left\{\frac{X_n}{\log n} > \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{k}\right\}; \;A_k = \limsup_{n\rightarrow \infty} A_{k,n}$$
$$B_{k,N} = \left\{\frac{X_n}{\log n} > \frac{1}{\alpha}-\frac{1}{k}\right\};\; B_k = \limsup_{n\rightarrow \infty} B_{k,n}$$
\item $X_n \sim\text{Exp(}\alpha),\; \alpha >0$ $\forall n \geq 1 \; \forall c \in \RR$ $\mu(X_n > c) = 1-F_{X_n}(c) = e^{-\alpha c} $\\$\Rightarrow \mu(A_{k,N} = \mu\left(\frac{X_n}{1} > \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{k}\right) \log n \right) = \frac{1}{n^{1+\frac{\alpha}{k}}}$
$\mu(B_{k,N}) = \dotsc = \frac{1}{n^{1-\frac{\alpha}{k}}}$
\item $$\underbrace{\sum_{n\geq 1} \mu(A_k,n)}_{\mu(A_k)=0} < \infty \text{ und }\underbrace{\sum_{n\geq 1} \mu(B_{k,n})}_{\mu(B_K)=1 \forall k} =\infty$$
\item $$\{\limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{X_n}{\log n} = \frac{1}{\alpha}\} = \bigcap_{k\geq1}A_k^C \cap \bigcap_{k\geq 1} B_K \text{ fast sicher.}$$
\end{itemize}
\end{proof}

Auf der Tutoriums aufgabe war ein Fehler!:\\
\underline{T1:}
$$\Ln e^{-n} \sum^n_{k=0} \frac{n^k}{k!}= ?$$
$$\EE[\liminf \1_{\{\frac{1}{n} \sum^n X_i \leq 1\}}] \EE[\1_{\{\liminf\{\frac{1}{n} \sum^n_{i=1} X_i \leq 1\}\}}]\text{ Hier haben die Klammern gefehlt!}$$
$$\Ln e^{-n} \sum^n_{k=0} \frac{n^k}{k!} = \frac{1}{2},\text{ da }e^{-n} \sum^n_{k=0} \frac{n^k}{k!} =\prob{\sum^n_{i=1} X_i \leq n}$$\\
$$\prob{\frac{\sum^n_{i=1} (X_i -1)}{\sqrt{n}} \leq 0} \xrightarrow {ZGS} N_{0,1}(]-\infty,0[) =\frac{1}{2}$$
\end{document}
