. .

Autor(en)

  • Stephan Kulla ()

Lizenz

Dieses Werk von Stephan Kulla steht unter einer „Creative Commons Namensnennung 3.0 Deutschland-Lizenz“. Damit darfst du

  • das Werk bzw. den Inhalt vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen
  • Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes bzw. Inhaltes anfertigen

Zur Verwendung musst du folgende Bedingungen einhalten:

  • Namensnennung - Du musst den Autor/die Autoren nennen und ein Link auf dieses Werk setzen.

Beweisen sie folgende Eigenschaften komplexer Integrale.

  • $\int_b^a f\left(x\right) \dx = -\int_a^b f\left(x\right) \dx$

    Lösungsweg


    \begin{align*}\int_b^a f\left(x\right) \dx & \defeq \underbrace{\int_b^a \Re\left(f\left(x\right)\right) \dx}_\text{reelles Integral} + \i \underbrace{\int_b^a \Im\left(f\left(x\right)\right) \dx}_\text{reelles Integral} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{Nach Eigenschaft reeller Integrale} \right.}\\[4px] & = -\int_a^b \Re\left(f\left(x\right)\right) \dx + \i \left(-\int_a^b \Im\left(f\left(x\right)\right) \dx\right) \\[4px] & = -\left(\int_a^b \Re\left(f\left(x\right)\right) \dx + \i \int_a^b \Im\left(f\left(x\right)\right) \dx\right) \\[4px] & \defeq - \int_a^b f\left(x\right) \dx\end{align*}

  • $\int_a^a f\left(x\right) \dx = 0$

    Lösungsweg 1.


    \begin{align*}\int_a^a f\left(x\right) \dx & \defeq \underbrace{\int_a^a \Re\left(f\left(x\right)\right) \dx}_{=0} + \i \underbrace{\int_a^a \Im\left(f\left(x\right)\right) \dx}_{=0} \\[4px] & = 0 + \i \cdot 0 = 0\end{align*}

    Hinweis zum 2. Lösungsweg

    Was passiert, wenn du die erste Eigenschaft auf $\int_a^a f\left(x\right) \dx = 0$ anwendest?

    Lösungsweg 2.


    \begin{align*}& \int_a^a f\left(x\right) \dx \stackrel{\mathrm{obige\ Eigenschaft}}= -\int_a^a f\left(x\right) \dx \\[4px] \Rightarrow & 2 \int_a^a f\left(x\right) \dx = 0 \\[4px] \Rightarrow & \int_a^a f\left(x\right) \dx = 0\end{align*}

  • Das komplexe Integral ist $\C$-linear. Das heißt, es ist $\int_a^b \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) \dx = \int_a^b f\left(x\right) \dx + \int_a^b g\left(x\right) \dx$ für alle $f,\,g :\ \left[a,\,b\right] \rightarrow \C$ und $\int_a^b \lambda \cdot f\left(x\right) = \lambda \int_a^b f\left(x\right) \dx$ für alle $\lambda\in\C$ und $f:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow \C$.

    Lösungsweg

    Es gilt für alle $f,\,g :\ \left[a,\,b\right] \rightarrow \C$

    \begin{align*}\int_a^b \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) \dx & \defeq \int_a^b \Re\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) \dx + \i \int_a^b \Im\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) \dx \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{Definition der komplexen Addition} \right.}\\[4px] & = \int_a^b \left(\Re\left(f\left(x\right)\right) +\Re\left(g\left(x\right)\right)\right) \dx \\[4px] & \ + \i \int_a^b \left(\Im\left(f\left(x\right)\right) +\Im\left(g\left(x\right)\right)\right) \dx \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{Eigenschaft reeller Integrale} \right.}\\[4px] & = \int_a^b \Re\left(f\left(x\right)\right) \dx + \int_a^b \Re\left(g\left(x\right)\right) \dx \\[4px] & \ + \i \left(\int_a^b \Im\left(f\left(x\right)\right)\dx + \int_a^b \Im\left(g\left(x\right)\right) \dx\right) \\[4px] & = \int_a^b \Re\left(f\left(x\right)\right) \dx + \i \int_a^b \Im\left(f\left(x\right)\right) \dx \\[4px] & \ + \int_a^b \Re\left(g\left(x\right)\right)\dx + \i \int_a^b \Im\left(g\left(x\right)\right) \dx \\[4px] & \defeq \int_a^b f\left(x\right) \dx + \int_a^b g\left(x\right) \dx \\[4px]\end{align*}
    Zunächst gilt
    \begin{align*}\int_a^b \i f\left(t\right) \dt & \defeq \int_a^b \Re\left(\i f\left(t\right)\right) \dt + \i \int_a^b \Im\left(\i f\left(t\right)\right) \dt \\[4px] & = \int_a^b -\Im\left(f\left(t\right)\right) \dt + \i \int_a^b \Re\left(f\left(t\right)\right) \dt \\[4px] & = -\int_a^b \Im\left(f\left(t\right)\right) \dt + \i \int_a^b \Re\left(f\left(t\right)\right) \dt \\[4px] & = \i \left(\i \int_a^b \Im\left(f\left(t\right)\right) \dt + \int_a^b \Re\left(f\left(t\right)\right) \dt\right) \\[4px] & \defeq \i \int_a^b f\left(t\right) \dt \\[4px]\end{align*}
    und für alle $s\in\R$
    \begin{align*}\int_a^b s\cdot f\left(t\right)\dt &\defeq \int_a^b \Re\left(s\cdot f\left(t\right)\right) \dt + \i \int_a^b \Im\left(s\cdot f\left(t\right)\right) \dt \\[4px] & = \int_a^b s\cdot \Re\left(f\left(t\right)\right) \dt + \i \int_a^b s\cdot \Im\left(f\left(t\right)\right) \dt \\[4px] & = s\cdot \int_a^b \Re\left(f\left(t\right)\right) \dt + \i \cdot s\cdot \int_a^b \Im\left(f\left(t\right)\right) \dt \\[4px] & = s\cdot \left(\int_a^b \Re\left(f\left(t\right)\right) \dt + \i \int_a^b \Im\left(f\left(t\right)\right) \dt\right) \\[4px] & \defeq s\cdot \int_a^b f\left(t\right) \dt \\[4px]\end{align*}
    Damit ist für alle $f:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow \C$ und $\lambda=x+y \cdot \i \in \C$
    \begin{align*}\int_a^b \lambda f\left(t\right) \dt & = \int_a^b \left(x+y \cdot \i\right) f\left(t\right) \dt \\[4px] & = \int_a^b \left(x f\left(t\right) + y \i f\left(t\right)\right) \dt \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{bereits gezeigt: Summe ist rausziehbar} \right.}\\[4px] & = \int_a^b x f\left(t\right) \dt + \int_a^b y \i f\left(t\right) \dt \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{bereits gezeigt: reelle Zahl ist rausziehbar} \right.}\\[4px] & = x \int_a^b f\left(t\right) \dt + y \int_a^b \i f\left(t\right) \dt \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{bereits gezeigt: } \i \text{ ist rausziehbar} \right.}\\[4px] & = x \int_a^b f\left(t\right) \dt + y \i \int_a^b f\left(t\right) \dt \\[4px] & = \left(x + y \i\right) \int_a^b f\left(t\right) \dt \\[4px] & = \lambda \int_a^b f\left(t\right) \dt \\[4px]\end{align*}

  • $\amount{\int_a^b f\left(x\right)\dx} \le \int_a^b \amount{f\left(x\right)}\dx$

    Lösungsweg

    Zum Beweis dieser Eigenschaft verwenden wir die Darstellung von Integralen über Riemansche Zwischensummen. Dabei sei $\ind_A$ die charakteristische Funktion für die Menge $A \subseteq \R$. Damit ist

    \begin{align*}\amount{\int_a^b f\left(x\right) \dx} & \defeq \amount{\int_a^b \Re\left(f\left(x\right)\right) \dx + \i \int_a^b \Im\left(f\left(x\right)\right) \dx} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{Darstellung der beiden Integrale durch Riemannsche Summe} \right.}\\[4px] & = \amount{\limit{\int_a^b \sum_{k=1}^n \Re\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right) \indk \dx} + \i \limit{\int_a^b \sum_{k=1}^n \Im\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right) \indk \dx}} \\[4px] & = \amount{\limit{\sum_{k=1}^n \left(\int_a^b \Re\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right) \indk \dx + \i \int_a^b \Im\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right) \indk \dx\right)}} \\[4px] & = \amount{\limit{\sum_{k=1}^n \int_a^b f\left(\frac{k}{n}\right) \indk \dx}} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \amount{\cdot} \text{ ist stetig} \right.}\\[4px] & = \limit{\amount{\sum_{k=1}^n \int_a^b f\left(\frac{k}{n}\right) \indk \dx}} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{Dreiecksungleichung f{\" u}r } \amount{\cdot} \right.}\\[4px] & \le \limit{\sum_{k=1}^n \amount{\int_a^b f\left(\frac{k}{n}\right) \indk \dx}} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow f\left(\frac{k}{n}\right) \text{ ist eine Konstante} \right.}\\[4px] & = \limit{\sum_{k=1}^n \amount{f\left(\frac{k}{n}\right)} \amount{\int_a^b \indk \dx}} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \indk \ge 0 \text{ und damit } \int_a^b \indk \dx \ge 0 \right.}\\[4px] & = \limit{\sum_{k=1}^n \amount{f\left(\frac{k}{n}\right)} \int_a^b \indk \dx} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \amount{f\left(\frac{k}{n}\right)} \text{ ist eine Konstante} \right.}\\[4px] & = \limit{\sum_{k=1}^n \int_a^b \amount{f\left(\frac{k}{n}\right)} \indk \dx} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{Riemannsche Zwischensumme} \right.}\\[4px] & = \int_a^b \amount{f\left(x\right)} \dx \\[4px]\end{align*}