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Quelle der Aufgabe

Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 85

Autor(en)

  • Stephan Kulla ()

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Sei $D \subseteq \Cunit$ ein Gebiet, das den Nullpunkt nicht enthält. Eine stetige Funktion $l:\ D\rightarrow \C$ mit $\exp\left(l\left(z\right)\right)=z$ für alle $z\in D$ heißt stetiger Zweig des Logarithmus . Man zeige folgende Aussagen (Quelle der Aufgabe: Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 85)

  • Jeder weitere stetige Zweig des Logarithmus $\tilde l$ auf $D$ besitzt die Form $\tilde l = l + 2\pi \i k$

    Lösungsweg

    Sei $\tilde l$ ein weiterer stetiger Zweig des Logarithmus und $g:\ D\rightarrow \C:\ z\mapsto \tilde l\left(z\right) - l\left(z\right)$. Damit ist $g$ eine stetige Funktion. Außerdem ist


    \begin{align*}& \exp\left(g\left(z\right)\right) = \exp\left(\tilde l\left(z\right)-l\left(z\right)\right) = \frac{\exp\left(\tilde l\left(z\right)\right)}{\exp\left(l\left(z\right)\right)} = \frac{z}{z} = 1 \\[4px] \Rightarrow \ & \exists k \in \Z:\ g\left(z\right)=2k\pi\i\end{align*}

    Also ist $g\left(z\right)\in\left\{2k\pi\i:\ k\in\Z\right\}$ für alle $z\in D$. Da $g$ stetig ist, existiert für alle $z_0\in D$ ein $\delta\left(z_0\right) \gt 0$ mit $\amount{g\left(z\right)-g\left(z_0\right)} \lt 2\pi$ für alle $z$ in der Umgebung $\left\{z\in D:\ \amount{z-z_0}\lt\delta\left(z_0\right)\right\}$ von $z_0$. Da $g\left(z\right)$ als Werte nur ganzzahlige Vielfache von $2\pi\i$ annehmen kann, besitzen 2 verschiedene Funktionswerte von $g$ mindestens den Abstand $2\pi$. Somit ist wegen $\amount{g\left(z\right)-g\left(z_0\right)} \lt 2\pi$ sogar $g\left(z\right)=g\left(z_0\right)$ für alle $z\in\left\{w\in D:\ \amount{z-w}\lt\delta\left(z_0\right)\right\}$.

    Damit ist $g$ lokal konstant. Weil $g$ auf einem Gebiet definiert ist, ist $g$ konstant (Auf Gebieten sind lokal konstante Funktionen konstant). Es existiert also ein $k\in\Z$ mit $\forall z \in D:\ g\left(z\right)=2k\pi\i \Rightarrow \tilde l\left(z\right)=l\left(z\right)+2k\pi\i$.

  • Jeder stetige Zweig ist $l$ des Logarithmus ist sogar analytisch und es gilt $l^\prime\left(z\right) = \frac{1}{z}$

    Lösungsweg

    Zunächst gilt $z\ne z_0 \Rightarrow f\left(z\right)\ne f\left(z_0\right)$, denn es ist


    \begin{align*}& f\left(z\right) = f\left(z_0\right) \\[4px] \Rightarrow\ &\exp\left(f\left(z\right)\right)=\exp\left(f\left(z_0\right)\right) \\[4px] \Rightarrow\ &z=z_0 \\[4px]\end{align*}

    Damit ist


    \begin{align*}l^\prime\left(z_0\right) & = \lim_{z\rightarrow z_0,\, z\ne z_0} \frac{f\left(z_0\right)-f\left(z\right)}{z_0-z} \\[4px] & = \lim_{z\rightarrow z_0,\, z\ne z_0} \frac{f\left(z_0\right)-f\left(z\right)}{\exp\left(f\left(z_0\right)\right)-\exp\left(f\left(z\right)\right)} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{ es ist immer } f\left(z_0\right)-f\left(z\right) \ne 0 \text{ (siehe oben)} \right.}\\[4px] & = \lim_{z\rightarrow z_0,\, z\ne z_0} \left(\frac{\exp\left(f\left(z_0\right)\right)-\exp\left(f\left(z\right)\right)}{f\left(z_0\right)-f\left(z\right)}\right)^{-1} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \lim_{z\rightarrow z_0} f\left(z\right) = f\left(z_0\right) \text{, weil f stetig ist} \right.}\\[4px] & = \left(\exp^\prime\left(f\left(z_0\right)\right)\right)^{-1} = \left(\exp\left(f\left(z_0\right)\right)\right)^{-1} = \frac{1}{z_0} \\[4px]\end{align*}

  • Auf $D$ existiert genau dann ein stetiger Zweig des Logarithmus, wenn die Funktion $\frac{1}{z}$ eine Stammfunktion auf $D$ besitzt.

    Lösungsweg

    Die erste Implikation wurde bereits in der obigen Teilaufgabe gezeigt. Es ist noch zu beweisen, dass, wenn es eine holomorphe Stammfunktion von $\frac{1}{z}$ auf $D$ gibt, es auch einen stetigen (und damit analytischen Zweig) auf $D$ gibt. Sei im Folgenden also $F$ eine holomorphe Funktion mit Ableitung $\frac{1}{z}$. Es ist


    \begin{align*}& \left(\exp\left(F\left(z\right)\right)\cdot\frac{1}{z}\right)^\prime = \exp\left(F\left(z\right)\right)\cdot\frac{1}{z^2}-\exp\left(F\left(z\right)\right)\cdot\frac{1}{z^2}=0 \\[4px] \Rightarrow\ & z\mapsto\exp\left(F\left(z\right)\right)\cdot\frac{1}{z} \text{ ist konstant } \\[4px] \Rightarrow\ & \exp\left(F\left(z\right)\right)\cdot\frac{1}{z} = c \\[4px] \Rightarrow\ & \exp\left(F\left(z\right)\right) = c\cdot z \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow c \ne 0 \text{, weil } \forall z \in D:\ \exp\left(F\left(z\right)\right)\ne 0 \right.}\\[4px] \Rightarrow\ & \exp\left(F\left(z\right)-\Log\left(c\right)\right) = z \\[4px]\end{align*}

    Damit ist $z\mapsto F\left(z\right)-\Log\left(c\right)$ ein anayltischer (und damit stetiger) Zeig des Logarithmus auf $D$ (Hier ist $\Log\left(c\right)$ irgendeine komplexe Zahl mit $\exp\left(\Log\left(c\right)\right)=c$).