Beweise folgende Eigenschaften komplexer Kurvenintegrale
Das Kurvenintegral ist
-linear. Das heißt es gilt
für glatte Kurven
und stetige Funktionen
. Außerdem gilt
.
, wenn
für alle
im Bild von
Sei . Beweise, dass
.
Beweise, dass das Kurvenintegral transformationsinvariant ist, dass also gilt: Sei eine stückweise glatte Funktion und
eine stetige Funktion. Sei nun
eine stetig differenzierbare Funktion mit
und
. Zeige, dass
Beweise folgende Eigenschaft komplexer Integrale: Sei eine stetige Funktion (
offen), die eine Stammfunktion
besitzt. So gilt für jede in
verlaufende glatte Kurve
:
Berechne das Kurvenintegral , wenn (Quelle der Aufgabe: Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 68)
die Verbinungssterecke zwischen
und
ist.
die Verbindungsstrecke auf der Parabel von
bis
ist
Beweise: Für eine stetige Funktion (
ist ein Gebiet) sind folgende Aussagen äquivalent
besitzt eine Stammfunktion
- Jedes Kurvenintegral über
entlang einer geschlossenen Kurve
in
ist gleich
.
- Jedes Kurvenintegral über
hängt nur vom Anfangs- und Endpunkten ab.
Beweisen sie, dass die komplexe Konjugation auf jeder nichtleeren und offenen Menge
keine holomorphe Stammfunktion besitzt.