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Aufgabe 1:

Beweise folgende Eigenschaften komplexer Kurvenintegrale

  • Das Kurvenintegral ist $\C$-linear. Das heißt es gilt $\int_\alpha \left(f\left(t\right)+g\left(t\right)\right) \dt = \int_\alpha f\left(t\right) \dt + \int_\alpha g\left(t\right) \dt$ für glatte Kurven $\alpha:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\C$ und stetige Funktionen $f,\,g:\ \alpha\left(\left[a,\,b\right]\right)\rightarrow\C$. Außerdem gilt $\int_\alpha \lambda \cdot f\left(t\right) \dt = \lambda \int_\alpha f\left(t\right) \dt$.

  • $\amount{\int_\alpha f\left(t\right) \dt} \le C \cdot \len\left(\alpha\right)$, wenn $\amount{f\left(t\right)} \le C$ für alle $t$ im Bild von $\alpha$

Aufgabe 2:

Sei $\alpha:\ \left[0,\,1\right]\rightarrow\C:\ t\mapsto \exp\left(2\pi\i t\right)$. Beweise, dass $\amount{\int_\alpha \frac{1}{4+3z} \dz} \le 2\pi$.

Aufgabe 3:

Beweise, dass das Kurvenintegral transformationsinvariant ist, dass also gilt: Sei $\alpha:\ \left[c,\,d\right]\rightarrow \C$ eine stückweise glatte Funktion und $f:\ \alpha\left(\left[c,\,d\right]\right)\rightarrow\C$ eine stetige Funktion. Sei nun $\phi:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\left[c,\,d\right]$ eine stetig differenzierbare Funktion mit $\phi\left(a\right)=c$ und $\phi\left(b\right)=d$. Zeige, dass $\int_\alpha f\left(t\right) \dt=\int_{\alpha\circ\phi} f\left(t\right) \dt$

Aufgabe 4:

Beweise folgende Eigenschaft komplexer Integrale: Sei $f:\ D\rightarrow\C$ eine stetige Funktion ($D$ offen), die eine Stammfunktion $F:\ D\rightarrow\C$ besitzt. So gilt für jede in $D$ verlaufende glatte Kurve $\alpha:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\C$ : $\int_\alpha f\left(t\right) \dt = F\left(\alpha\left(b\right)\right)-F\left(\alpha\left(a\right)\right)$

Aufgabe 5:

Berechne das Kurvenintegral $\int_\alpha z \exp\left(z^2\right) \dz$, wenn (Quelle der Aufgabe: Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 68)

  • $\alpha$ die Verbinungssterecke zwischen $0$ und $1+\i$ ist.

  • $\alpha$ die Verbindungsstrecke auf der Parabel von $0$ bis $1+\i$ ist

Aufgabe 6:

Beweise: Für eine stetige Funktion $f:\ G\rightarrow\C$ ($G$ ist ein Gebiet) sind folgende Aussagen äquivalent

  1. $f$ besitzt eine Stammfunktion
  2. Jedes Kurvenintegral über $f$ entlang einer geschlossenen Kurve $\alpha$ in $G$ ist gleich $0$.
  3. Jedes Kurvenintegral über $f$ hängt nur vom Anfangs- und Endpunkten ab.

Aufgabe 7:

Beweisen sie, dass die komplexe Konjugation $f:\ D\rightarrow\C:\ z\rightarrow\overline z$ auf jeder nichtleeren und offenen Menge $D$ keine holomorphe Stammfunktion besitzt.