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Aufgabe 1:

Beweisen sie folgende Eigenschaften komplexer Integrale.

  • $\int_b^a f\left(x\right) \dx = -\int_a^b f\left(x\right) \dx$

  • $\int_a^a f\left(x\right) \dx = 0$

  • Das komplexe Integral ist $\C$-linear. Das heißt, es ist $\int_a^b \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) \dx = \int_a^b f\left(x\right) \dx + \int_a^b g\left(x\right) \dx$ für alle $f,\,g :\ \left[a,\,b\right] \rightarrow \C$ und $\int_a^b \lambda \cdot f\left(x\right) = \lambda \int_a^b f\left(x\right) \dx$ für alle $\lambda\in\C$ und $f:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow \C$.

  • $\amount{\int_a^b f\left(x\right)\dx} \le \int_a^b \amount{f\left(x\right)}\dx$

Aufgabe 2:

Beweise folgende Eigenschaften komplexer Integrale

  • Ist $F:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\C$ eine Stammfunktion von $f$ (also $F^\prime\left(t\right) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{F\left(t+h\right)-F\left(t\right)}{h} = f\left(t\right)$), so ist $\int_a^b f\left(t\right) \dt = F\left(b\right)-F\left(a\right)$