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Aufgabe 1:

Sei $D \subseteq \Cunit$ ein Gebiet, das den Nullpunkt nicht enthält. Eine stetige Funktion $l:\ D\rightarrow \C$ mit $\exp\left(l\left(z\right)\right)=z$ für alle $z\in D$ heißt stetiger Zweig des Logarithmus . Man zeige folgende Aussagen (Quelle der Aufgabe: Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 85)

  • Jeder weitere stetige Zweig des Logarithmus $\tilde l$ auf $D$ besitzt die Form $\tilde l = l + 2\pi \i k$

  • Jeder stetige Zweig ist $l$ des Logarithmus ist sogar analytisch und es gilt $l^\prime\left(z\right) = \frac{1}{z}$

  • Auf $D$ existiert genau dann ein stetiger Zweig des Logarithmus, wenn die Funktion $\frac{1}{z}$ eine Stammfunktion auf $D$ besitzt.