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Quelle der Aufgabe

Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 94

Autor(en)

  • Stephan Kulla ()

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Man zeige: Ist $f:\ \C\rightarrow\C$ eine analytische Funktion und gibt es eine reelle Zahl $M$, so dass $\Re\left(f\left(z\right)\right) \le M$ für alle $z\in\C$, dann ist $f$ eine konstante Funktion (Quelle der Aufgabe: Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 94)

Hinweis zum Lösungsweg

Betrachte die Funktion $g:\ =\exp \circ f$ und wende auf diese Funktion den Satz von Liouville an.

Lösungsweg

Sei $g:\ =\exp \circ f$. Es ist


\begin{align*}\amount{g\left(z\right)} & = \amount{\exp\left(\Re\left(f\left(z\right)\right) + \i \cdot \Im\left(f\left(z\right)\right)\right)}\\[4px] & = \amount{\exp\left(\Re\left(f\left(z\right)\right)\right) \cdot \exp\left(\i \cdot \Im\left(f\left(z\right)\right)\right)} \\[4px] & = \underbrace{\amount{\exp\left(\Re\left(f\left(z\right)\right)\right)}}_{\le\ \exp\left(M\right)} \cdot \underbrace{\amount{\exp\left(\i \cdot \Im\left(f\left(z\right)\right)\right)}}_{=\ 1} \le \exp\left(M\right) \\[4px]\end{align*}

Damit ist $g$ eine beschränkte Funktion. Da $g$ außerdem als Verknüpfung zweier analytischer Funktionen wieder analytisch ist, ist $g$ nach dem Satz von Liouville eine konstante Funktion. Es ist also $\exp\left(f\left(z\right)\right) = \const$. Die Ableitung von $g$ ist 0 (weil $g$ konstant ist). Es ist also


\begin{align*}& g^\prime\left(z\right) = \left(\exp\left(f\left(z\right)\right)\right)^\prime = 0 \\[4px] \Rightarrow\ & \underbrace{\exp\left(f\left(z\right)\right)}_{\ne\ 0} f^\prime\left(z\right) = 0 \\[4px] \Rightarrow\ & f^\prime\left(z\right) = 0 \\[4px] \Rightarrow\ & f \text{ ist eine konstante Funktion } \\[4px]\end{align*}