. .

Quelle der Aufgabe

Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 96

Autor(en)

  • Stephan Kulla ()

Lizenz

Dieses Werk von Stephan Kulla steht unter einer „Creative Commons Namensnennung 3.0 Deutschland-Lizenz“. Damit darfst du

  • das Werk bzw. den Inhalt vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen
  • Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes bzw. Inhaltes anfertigen

Zur Verwendung musst du folgende Bedingungen einhalten:

  • Namensnennung - Du musst den Autor/die Autoren nennen und ein Link auf dieses Werk setzen.

Das Bild einer nichtkonstanten, ganzen Funktion ist dicht in $\C$. (Quelle der Aufgabe: Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 96)

Lösungsweg

Beweis durch Kontraposition: Sei $f:\ \C\rightarrow\C$ eine ganze Funktion, deren Bild $f\left(\C\right)$ nicht dicht in $\C$ liegt. Zu zeigen ist, dass dann $f$ eine konstante Funktion ist.

Wenn das Bild von $f$ nicht dicht in $\C$ liegt, so ist dies äquivalent dazu, dass es eine komplexe Zahl $a\in\C$ und eine Umgebung $B_r\left(a\right) :\ = \left\{ z\in\C:\ \amount{a-z} \le r\right\}$ mit $r\gt 0$ gibt, so dass $B_r\left(a\right)$ nicht im Bild $f\left(\C\right)$ liegt (also $B_r\left(a\right) \cap f\left(\C\right) = \emptyset$). Nun definieren wir $g\left(z\right)=\frac{1}{f\left(z\right)-a}$. Weil $a\notin f\left(\C\right)$, ist $g$ auf ganz $\C$ definiert (und dort als Verknüpfung analytischer Funktionen wieder analytisch).

Nun ist $\amount{f\left(z\right)-a} \ge r$, weil $B_r\left(a\right)$ nicht im Bild von $f$ liegt. Also ist $\amount{g\left(z\right)}=\amount{\frac{1}{f\left(z\right)-a}} = \frac{1}{\amount{f\left(z\right)-a}} \le \frac{1}{r}$. Somit ist $g$ eine beschränkte Funktion und nach dem Satz von Liouville damit konstant. Es gilt also


\begin{align*}& g\left(z\right) = c \\[4px] \Rightarrow\ & \frac{1}{f\left(z\right)-a} = c \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow c\ne 0 \text{, weil } \frac{1}{f\left(z\right)-a} \ne 0 \right.}\\[4px] \Rightarrow\ & f\left(z\right)-a = \frac{1}{c} \\[4px] \Rightarrow\ & f\left(z\right) = \frac{1}{c}+a = \const \\[4px]\end{align*}