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Autor(en)

  • Stephan Kulla ()

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Beweise folgende Eigenschaften komplexer Integrale

  • Ist $F:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\C$ eine Stammfunktion von $f$ (also $F^\prime\left(t\right) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{F\left(t+h\right)-F\left(t\right)}{h} = f\left(t\right)$), so ist $\int_a^b f\left(t\right) \dt = F\left(b\right)-F\left(a\right)$

    Lösungsweg

    Für diesen Beweis muss (wie du später noch siehst) bewiesen werden, dass $\Re\left(F\right)^\prime =\Re\left(f\right)$ und dass $\Im\left(F\right)^\prime =\Im\left(f\right)$ ist. Fangen wir zunächst an, $\Re\left(F\right)^\prime =\Re\left(f\right)$ zu beweisen. Es ist

    \begin{align*}\Re\left(F\left(t\right)\right)^\prime & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\Re\left(F\left(t+h\right)\right) - \Re\left(F\left(t\right)\right)}{h} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{ nach Definition der komplexen Addition } \right.}\\[4px] & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\Re\left(F\left(t+h\right) - F\left(t\right)\right)}{h} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \tfrac{1}{h} \text{ ist eine reelle Konstante} \right.}\\[4px] & = \lim_{h\rightarrow 0} \Re\left(\frac{F\left(t+h\right) - F\left(t\right)}{h}\right) \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \Re\left(\cdot\right) \text{ ist eine stetige Funktion } \C\rightarrow\R \right.}\\[4px] & = \Re\left(\lim_{h\rightarrow 0} \frac{F\left(t+h\right) - F\left(t\right)}{h}\right) \\[4px] & = \Re\left(F^\prime\left(t\right)\right) = \Re\left(f\left(t\right)\right) \\[4px]\end{align*}
    Der Beweis, dass $\Im\left(F\right)^\prime =\Im\left(f\right)$ ist, geht analog zur obigen Argumentation (ersetze dabei $\Re\left(\cdot\right)$ durch $\Im\left(\cdot\right)$). Damit ist
    \begin{align*}\int_a^b f\left(t\right) \dt & = \int_a^b \Re\left(f\left(t\right)\right) \dt + \i \int_a^b \Im\left(f\left(t\right)\right) \dt \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \Re\left(F\left(t\right)\right)^\prime = \Re\left(f\left(t\right)\right) \text{ und } \Im\left(F\left(t\right)\right)^\prime = \Im\left(f\left(t\right)\right) \right.}\\[4px] & = \left[\Re\left(F\left(t\right)\right)\right]_a^b + \i \left[\Im\left(F\left(t\right)\right)\right]_a^b \\[4px] & = \Re\left(F\left(b\right)\right) - \Re\left(F\left(a\right)\right) + \i \left(\Im\left(F\left(b\right)\right) - \Im\left(F\left(a\right)\right)\right) \\[4px] & = \Re\left(F\left(b\right)\right) + \i \cdot \Im\left(F\left(b\right)\right) - \left(\Re\left(F\left(b\right)\right) + \i \cdot \Im\left(F\left(b\right)\right)\right) \\[4px] & = F\left(b\right) - F\left(a\right) \\[4px]\end{align*}