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Autor(en)

  • Stephan Kulla ()

Lizenz

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Beweise folgende Eigenschaften komplexer Kurvenintegrale

  • Das Kurvenintegral ist $\C$-linear. Das heißt es gilt $\int_\alpha \left(f\left(t\right)+g\left(t\right)\right) \dt = \int_\alpha f\left(t\right) \dt + \int_\alpha g\left(t\right) \dt$ für glatte Kurven $\alpha:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\C$ und stetige Funktionen $f,\,g:\ \alpha\left(\left[a,\,b\right]\right)\rightarrow\C$. Außerdem gilt $\int_\alpha \lambda \cdot f\left(t\right) \dt = \lambda \int_\alpha f\left(t\right) \dt$.

    Hinweis zum Lösungsweg

    Denke daran, dass das komplexe Integral $\C$-linear ist.

    Lösungsweg

    Diese Eigenschaft folgt aus der $\C$-Linearität des komplexen Integrals. Es ist nämlich

    \begin{align*}\int_\alpha \left(f\left(t\right)+g\left(t\right)\right) \dt & \defeq \int_a^b \left(f\left(\alpha\left(t\right)\right)+g\left(\alpha\left(t\right)\right)\right) \alpha^\prime\left(t\right) \dt \\[4px] & = \int_a^b \left(f\left(\alpha\left(t\right)\right)\alpha^\prime\left(t\right)+g\left(\alpha\left(t\right)\right)\alpha^\prime\left(t\right)\right) \dt \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{das komplexe Integral ist } \C\text{-linear} \right.}\\[4px] & = \int_a^b f\left(\alpha\left(t\right)\right)\alpha^\prime\left(t\right)\dt + \int_a^b g\left(\alpha\left(t\right)\right)\alpha^\prime\left(t\right) \dt \\[4px] & \defeq \int_\alpha f\left(t\right) \dt + \int_\alpha g\left(t\right) \dt \\[4px]\end{align*}
    Außerdem ist
    \begin{align*}\int_\alpha \lambda \cdot f\left(t\right) \dt & \defeq \int_a^b \lambda \cdot f\left(\alpha\left(t\right)\right)\alpha^\prime\left(t\right) \dt \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{das komplexe Integral ist } \C\text{-linear} \right.}\\[4px] & = \lambda \int_a^b f\left(\alpha\left(t\right)\right)\alpha^\prime\left(t\right) \dt \\[4px] & \defeq \lambda \int_\alpha f\left(t\right) \dt \\[4px]\end{align*}

  • $\amount{\int_\alpha f\left(t\right) \dt} \le C \cdot \len\left(\alpha\right)$, wenn $\amount{f\left(t\right)} \le C$ für alle $t$ im Bild von $\alpha$

    Lösungsweg


    \begin{align*}\amount{\int_\alpha f\left(t\right) \dt} & \defeq \amount{\int_a^b f\left(\alpha\left(t\right)\right) \alpha^\prime\left(t\right) \dt} \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{nach Eigenschaft komplexer Integrale} \right.}\\[4px] & \le \int_a^b \amount{f\left(\alpha\left(t\right)\right) \alpha^\prime\left(t\right)} \dt \\[4px] & = \int_a^b \underbrace{\amount{f\left(\alpha\left(t\right)\right)}}_{\le C} \amount{\alpha^\prime\left(t\right)} \dt \\[4px] & = \int_a^b C \amount{\alpha^\prime\left(t\right)} \dt \\[4px] & = C \underbrace{\int_a^b \amount{\alpha^\prime\left(t\right)}}_{\len\left(\alpha\right)} \dt = C \cdot \len\left(\alpha\right)\\[4px]\end{align*}