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Autor(en)

  • Stephan Kulla ()

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Beweise folgende Eigenschaft komplexer Integrale: Sei $f:\ D\rightarrow\C$ eine stetige Funktion ($D$ offen), die eine Stammfunktion $F:\ D\rightarrow\C$ besitzt. So gilt für jede in $D$ verlaufende glatte Kurve $\alpha:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\C$ : $\int_\alpha f\left(t\right) \dt = F\left(\alpha\left(b\right)\right)-F\left(\alpha\left(a\right)\right)$

Lösungsweg

Da $\alpha\left(t\right)$ stetig differenzierbar ist, so gilt $F\left(\alpha\left(t\right)\right)^\prime = f\left(\alpha\left(t\right)\right) \alpha^\prime\left(t\right)$. Es ist

\begin{align*}\int_\alpha f\left(t\right) \dt & = \int_a^b f\left(\alpha\left(t\right)\right) \alpha^\prime\left(t\right) \dt = \left[F\left(\alpha\left(t\right)\right)\right]_a^b \\[4px] & = F\left(\alpha\left(b\right)\right) - F\left(\alpha\left(a\right)\right) \\[4px]\end{align*}