Autor(en)
- Stephan Kulla (stephan.kulla@campus.lmu.de
)
Lizenz
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![$\alpha:\ \left[a,\,b\right]\rightarrow\C$](img/42_-2027026022_0407a407a1a203a0070607a1040409a2.png)
![$\beta:\ \left[c,\,d\right]\rightarrow\C$](img/41_-94824748_08a0a4a2a10109a507a004070002a500.png)
![\begin{align*}& \int_{\alpha\oplus\beta^{-}} f\left(t\right) \dt \stackrel{\alpha\oplus\beta^{-} \mathrm{\ ist\ geschlossen}}= 0 \\[4px] \Rightarrow & \int_\alpha f\left(t\right) \dt + \int_{\beta^{-}} f\left(t\right) \dt = 0 \\[4px] \Rightarrow & \int_\alpha f\left(t\right) \dt - \int_{\beta} f\left(t\right) \dt = 0 \\[4px] \Rightarrow & \int_\alpha f\left(t\right) \dt = \int_{\beta} f\left(t\right) \dt \\[4px]\end{align*}](img/441_-1707535438_a205a1060303030201a40006a400a008.png)
![\begin{align*}& F\left(z\right) = F\left(z_0\right) + f\left(z_0\right) \left(z-z_0\right) + r\left(z\right),\, \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{r\left(z\right)}{z-z_0} = 0 \\[4px] \Leftrightarrow & \int_\z^z f\left(t\right) \dt = \int_\z^{z_0} f\left(t\right) \dt + f\left(z_0\right) \left(z-z_0\right) + r\left(z\right),\, \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{r\left(z\right)}{z-z_0} = 0 \\[4px] \Leftrightarrow & \underbrace{\int_\z^z f\left(t\right) \dt - \int_\z^{z_0} f\left(t\right) \dt}_{\int_{z_0}^z f\left(t\right) \dt} - f\left(z_0\right) \left(z-z_0\right) = r\left(z\right),\, \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{r\left(z\right)}{z-z_0} = 0 \\[4px] \Leftrightarrow & \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{\int_{z_0}^z f\left(t\right) \dt - f\left(z_0\right)\left(z-z_0\right)}{z-z_0} = 0 \\[4px]\end{align*}](img/808_1362991013_a4000306a103020808a504060205a3a1.png)
![$\alpha:\ \left[0,\,1\right]\rightarrow\C:\ t\rightarrow z_0 + t\left(z-z_0\right)$](img/83_1767744889_0708a2a505a0050206050602020809a2.png)
![\begin{align*}\lim_{z\rightarrow z_0} \frac{\int_{z_0}^z f\left(t\right) \dt - f\left(z_0\right)\left(z-z_0\right)}{z-z_0} & = \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{\int_\alpha f\left(t\right) \dt - f\left(z_0\right)\left(z-z_0\right) \overbrace{\int_0^1 1 \dt}^{=\ 1}}{z-z_0} \\[4px] & = \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{\int_0^1 f\left(z_0 + t\left(z-z_0\right)\right) \left(z-z_0\right) \dt - \int_0^1 f\left(z_0\right)\left(z-z_0\right) \dt}{z-z_0} \\[4px] & = \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{\int_0^1 f\left(z_0 + t\left(z-z_0\right)\right) \left(z-z_0\right) - f\left(z_0\right)\left(z-z_0\right) \dt}{z-z_0} \\[4px] & = \lim_{z\rightarrow z_0} \int_0^1 \frac{f\left(z_0 + t\left(z-z_0\right)\right) \left(z-z_0\right) - f\left(z_0\right)\left(z-z_0\right)}{z-z_0} \dt \\[4px] & = \lim_{z\rightarrow z_0} \int_0^1 \left(f\left(z_0 + t\left(z-z_0\right)\right) - f\left(z_0\right)\right) \dt \\[4px]\end{align*}](img/919_33363570_05a3a2020008a5a10003080308080202.png)
![\begin{align*}\amount{\int_0^1 \left( f\left(z_0+t\left(z-z_0\right)\right) -f\left(z_0\right) \right) \dt} & \le \int_0^1 \underbrace{\amount{f\left(z_0+t\left(z-z_0\right)\right) -f\left(z_0\right)}}_{\le\,\,\epsilon} \dt \\[4px] & \le \int_0^1 \epsilon \dt = \epsilon \int_0^1 1 \dt = \epsilon \\[4px]\end{align*}](img/320_135777760_060909030407a50709a2a40805a403a0.png)
