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Quelle der Aufgabe

Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 68

Autor(en)

  • Stephan Kulla ()

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Berechne das Kurvenintegral $\int_\alpha z \exp\left(z^2\right) \dz$, wenn (Quelle der Aufgabe: Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 68)

  • $\alpha$ die Verbinungssterecke zwischen $0$ und $1+\i$ ist.

    Lösungsweg 1.

    Wenn $\alpha$ die Verbinsungsstrecke zwischen $0$ und $1+\i$ ist, so kann man $\alpha$ als glatte Kurve $\alpha:\ \left[0,\,1\right]\rightarrow\C:\ t\rightarrow t\cdot\left(1+\i\right)$ definieren. Es ist dann

    \begin{align*}\int_\alpha z \exp\left(z^2\right) \dz & = \int_0^1 \alpha\left(t\right) \exp\left(\alpha\left(t\right)^2\right) \alpha^\prime\left(t\right) \dt \\[4px] & = \int_0^1 t \left(1+\i\right) \exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right) \left(1+\i\right) \dt \\[4px] & = \int_0^1 t \left(1+\i\right)^2 \exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right) \dt \\[4px] & = \frac{1}{2} \int_0^1 2 t \left(1+\i\right)^2 \exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right) \dt \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \left(\exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right)\right)^\prime = 2 t \left(1+\i\right)^2 \exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right) \right.}\\[4px] & = \frac{1}{2} \left[\exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right)\right]_0^1 \\[4px] & = \frac{1}{2} \left(\exp\left(1^2 \left(1+\i\right)^2\right) - \exp\left(0^2 \left(1+\i\right)^2\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\exp\left(\left(1+\i\right)^2\right)-1\right) \\[4px] & = \frac{1}{2}\left(\exp\left(2\i\right) - 1\right) \\[4px]\end{align*}

    Lösungsweg 2.

    Es ist $\frac{1}{2} \exp\left(z^2\right)$ eine holomorphe Funktion mit der Ableitung $\left(\frac{1}{2} \exp\left(z^2\right)\right)^\prime = z \exp\left(z\right)$. Damit ist

    \begin{align*}\int_\alpha z \exp\left(z^2\right) \dz & = \left[\frac{1}{2} \exp\left(z^2\right)\right]_{\alpha\left(0\right)}^{\alpha\left(1\right)} \\[4px] & = \frac{1}{2} \exp\left(\alpha\left(1\right)^2\right) - \frac{1}{2} \exp\left(\alpha\left(0\right)^2\right) \\[4px] & = \frac{1}{2}\left(\exp\left(\left(1+\i\right)^2\right) - \exp\left(0^2\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\exp\left(2\i\right) - 1\right) \\[4px]\end{align*}

  • $\alpha$ die Verbindungsstrecke auf der Parabel von $0$ bis $1+\i$ ist

    Hinweis zum 1. Lösungsweg

    Schau dir mal den zweiten Lösungsweg zur ersten Aufgabe an

    Lösungsweg 1.

    Diese Aufgabe lässt sich analog zur ersten Teilaufgabe lösen (siehe 2. Lösungsweg der ersten Teilaufgabe - der Lösungsweg ist identisch). Damit ist auch hier $\int_\alpha z \exp\left(z^2\right) \dz = \frac{1}{2}\left(\exp\left(2\i\right) - 1\right)$

    Hinweis zum 2. Lösungsweg

    Bedenke, dass geschlossene Kurven über Funktionen mit analytischer Stammfunktion stets 0 ist.

    Lösungsweg 2.

    Sei $\alpha:\ \left[0,\,1\right]\rightarrow\C:\ t\rightarrow t+t^2\i$ die Parabelkurve zwischen $0$ und $1+\i$. Sei $\beta:\ \left[0,\,1\right]\rightarrow\C:\ t\rightarrow t\left(1+\i\right)$ die direkte Verbindungsstrecke zwischen $0$ und $1+\i$. Dann ist $\alpha\oplus\beta^{-}$ eine geschlossene Kurve ($\beta^{-}$ ist dabei die reziproke Kurve von $\beta$). Da $z\exp\left(z^2\right)$ eine Stammfunktion besitzt (nämlich die Funktion $\frac{1}{2}\exp\left(z^2\right)$), ist jedes Kurvenintegral mit einer geschlossenen Kurve und über diese Funktion gleich $0$. Damit ist

    \begin{align*}& \int_{\alpha\oplus\beta^{-}} z \exp\left(z^2\right) \dz = 0 \\[4px] \Rightarrow\ & \int_\alpha z\exp\left(z^2\right) \dz + \int_{\beta^{-}} z\exp\left(z^2\right) \dz = 0 \\[4px] \Rightarrow\ & \int_\alpha z\exp\left(z^2\right) \dz - \int_{\beta} z\exp\left(z^2\right) \dz = 0 \\[4px] \Rightarrow\ & \int_\alpha z\exp\left(z^2\right) \dz = \int_{\beta} z\exp\left(z^2\right) \dz \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{ Teilaufgabe 1} \right.}\\[4px] \Rightarrow & \int_\beta z\exp\left(z^2\right) \dz = \frac{1}{2}\left(\exp\left(2\i\right) - 1\right) \\[4px]\end{align*}