Quelle der Aufgabe
Buch „Funktionentheorie 1“ von Eberhard Freitag und Rolf Busam, Auflage 3, 2000, ISBN 3-540-67641-4, Seite 68
Autor(en)
- Stephan Kulla (stephan.kulla@campus.lmu.de
)
Lizenz
Dieses Werk von Stephan Kulla steht unter einer „Creative Commons Namensnennung 3.0 Deutschland-Lizenz“. Damit darfst du
- das Werk bzw. den Inhalt vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen
- Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes bzw. Inhaltes anfertigen
Zur Verwendung musst du folgende Bedingungen einhalten:
- Namensnennung - Du musst den Autor/die Autoren nennen und ein Link auf dieses Werk setzen.
![$\alpha:\ \left[0,\,1\right]\rightarrow\C:\ t\rightarrow t\cdot\left(1+\i\right)$](img/81_-136052566_05a2a409a5a109a50303a10500a20602.png)
![\begin{align*}\int_\alpha z \exp\left(z^2\right) \dz & = \int_0^1 \alpha\left(t\right) \exp\left(\alpha\left(t\right)^2\right) \alpha^\prime\left(t\right) \dt \\[4px] & = \int_0^1 t \left(1+\i\right) \exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right) \left(1+\i\right) \dt \\[4px] & = \int_0^1 t \left(1+\i\right)^2 \exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right) \dt \\[4px] & = \frac{1}{2} \int_0^1 2 t \left(1+\i\right)^2 \exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right) \dt \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \left(\exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right)\right)^\prime = 2 t \left(1+\i\right)^2 \exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right) \right.}\\[4px] & = \frac{1}{2} \left[\exp\left(t^2 \left(1+\i\right)^2\right)\right]_0^1 \\[4px] & = \frac{1}{2} \left(\exp\left(1^2 \left(1+\i\right)^2\right) - \exp\left(0^2 \left(1+\i\right)^2\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\exp\left(\left(1+\i\right)^2\right)-1\right) \\[4px] & = \frac{1}{2}\left(\exp\left(2\i\right) - 1\right) \\[4px]\end{align*}](img/1014_-383685542_04a1a0a1a2a004040805a30508a3a204.png)
![\begin{align*}\int_\alpha z \exp\left(z^2\right) \dz & = \left[\frac{1}{2} \exp\left(z^2\right)\right]_{\alpha\left(0\right)}^{\alpha\left(1\right)} \\[4px] & = \frac{1}{2} \exp\left(\alpha\left(1\right)^2\right) - \frac{1}{2} \exp\left(\alpha\left(0\right)^2\right) \\[4px] & = \frac{1}{2}\left(\exp\left(\left(1+\i\right)^2\right) - \exp\left(0^2\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\exp\left(2\i\right) - 1\right) \\[4px]\end{align*}](img/443_1669455626_040707a200a500a504a0a3a308a20405.png)
![$\alpha:\ \left[0,\,1\right]\rightarrow\C:\ t\rightarrow t+t^2\i$](img/65_588318139_06a5090900030600a20608a404090508.png)
![$\beta:\ \left[0,\,1\right]\rightarrow\C:\ t\rightarrow t\left(1+\i\right)$](img/75_-114273500_070201a206050609a007a5000101a009.png)
![\begin{align*}& \int_{\alpha\oplus\beta^{-}} z \exp\left(z^2\right) \dz = 0 \\[4px] \Rightarrow\ & \int_\alpha z\exp\left(z^2\right) \dz + \int_{\beta^{-}} z\exp\left(z^2\right) \dz = 0 \\[4px] \Rightarrow\ & \int_\alpha z\exp\left(z^2\right) \dz - \int_{\beta} z\exp\left(z^2\right) \dz = 0 \\[4px] \Rightarrow\ & \int_\alpha z\exp\left(z^2\right) \dz = \int_{\beta} z\exp\left(z^2\right) \dz \\[4px] & {\color{Orange} \left\downarrow \text{ Teilaufgabe 1} \right.}\\[4px] \Rightarrow & \int_\beta z\exp\left(z^2\right) \dz = \frac{1}{2}\left(\exp\left(2\i\right) - 1\right) \\[4px]\end{align*}](img/620_-878540666_08030903a000a508a4a2040408a30804.png)